¿Por qué $y$ ¿se divide en dos intervalos?

Question

He aquí una pregunta y una solución a la parte b). No entiendo por qué hacen $y^{1/2}$ pertenecen al intervalo $[0,1)$ y luego por separado al intervalo $[1,3)$ .

Answer 1

Usted tiene $X\sim \mathcal U(-1;3)$ y $Y=X^2$

Ahora $Y\in(0;1)$ cuando $X\in(-1;0)$ y también cuando $X\in(0;1)$ . Por lo tanto, este intervalo para $Y$ se corresponde con dos intervalos para $X$ .

• Es decir, para todos $0\leq y\lt 1$ tenemos $\{Y\leq y\} = \{-\surd y\leq X\leq\surd y\}$

Sin embargo $Y\in[1;9)$ cuando $X \in[1;3)$ . Por lo tanto, este intervalo para $Y$ se asigna a un solo intervalo para $X$ .

• Es decir, para todos $1\leq y\lt 9$ tenemos $\{Y\leq y\} = \{-1\leq X\leq\surd y\}$

Así que claramente encontramos que:

$$F_Y(y)=\begin{cases}0&:&\qquad y\lt 0\\F_X(\surd y)-F_X(-\surd y)&:& 0\leq y<1\\ F(\surd y)&:& 1\leq y\lt 9\\1 &:& 9\leq y\end{cases}$$

Answer 2

Comentario: No se trata de una transformación 1-1. Los valores de $Y$ en $(0,1)$ proceden de valores de $X$ en $(-1,0)$ y en $(0,1).$

@GrahamKemp (+1) le ha dado una derivación formal, en términos de $y,$ que puede ser más fácil de seguir que la de la clave de respuestas, en términos de $\sqrt{y}.$

Simulando un millón de valores de $X$ muestreado de $\mathsf{Unif}(-1,3)$ en el software estadístico R y elevándolos al cuadrado, se puede trazar un histograma que sugiere la función de densidad de $Y,$ que es $f_Y(y) =\frac{1}{4\sqrt{y}},$ para $0 \le y \le 1,$ y $f_Y(y) = \frac{1}{8\sqrt{y}},$ para $1 \le y \le 9.$

Por supuesto, se puede obtener la función de densidad por diferenciación a trozos de la FCD, $F_Y(y).$ Obsérvese que la función de densidad (representada en rojo) es continua "a trozos", pero que no es continua en $y=0,1,$ o $9.$

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Nota: Por si es de interés, a continuación se muestra el código R para la simulación y el trazado.

x = runif(10^6, -1, 3);  y = x^2
hist(y, prob=T, br=50, col="skyblue2")
  curve(.25*x^-.5, 0,1, add=T, lwd=2, col="red")
  curve(.125*x^-.5, 1,9, add=T, lwd=2, col="red")

Es una peculiaridad del curve procedimiento en R que el debe expresarse en términos de una variable llamada x .

Answer 3

La razón es que la FCD se define como una integral definida y en este caso el área de integración es compuesta, por lo que debe descomponerse.

Mira el gráfico:

$\hspace{5cm}$

Para la zona azul, donde $y\in [0,1)$ : $$F_Y(y)=\mathbb P(X^2\le y)=\mathbb P(-\sqrt{y}\le X\le \sqrt{y})=F_X(\sqrt{y})-F_X(-\sqrt{y})=\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \frac14 dx=\frac{2\sqrt{y}}{4}.$$ Para la zona verde, donde $y\in [1,9)$ : $$F_Y(y)=\mathbb P(X^2\le y)=\mathbb P(-1\le X\le \sqrt{y})=F_X(\sqrt{y})-F_X(-1)=\int_{-1}^{\sqrt{y}} \frac14 dx=\frac{\sqrt{y}+1}{4}.$$