Cómo demostrar que $ 1 + x + x^2 +x^3 +...= \frac{1}{1-x} $ ?

Question

Por división larga, es fácil demostrar que $$ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 +x^3 +... $$

Pero ¿cómo demostrar que $$ 1 + x + x^2 +x^3 +...= \frac{1}{1-x} $$

Answer 1

$$ \text{Let }S_{n}=1+x+x^2...+x^{n-1}$$ $$\implies xS_{n}=x+x^2....+x^{n}$$ Restando ambas ecuaciones, $$S_{n}(1-x)=1-x^{n}$$ $$\implies S_{n}=\frac{1-x^n}{1-x}$$ Ya que es una serie infinita, $n\to\infty$ y sólo converge cuando $|x|<1$ . En $n\to\infty,x^n\to0$ $$\implies s_{\infty}=\frac{1-0}{1-x}=\frac{1}{1-x} $$

Answer 2

Tienes la siguiente expresión

$ 1 + x + x^2 +x^3 +...$

Ahora multiplicando numerador y denominador por $x-1$ siempre que $x\neq1$ tenemos

$\frac{(1-x)( 1 + x + x^2 +x^3 +...)}{1-x}=\frac{(1+x+x^2...)-(x+x^2+x^3)}{1-x}=\frac{1}{1-x}$

Answer 3

Supongamos que $1+x+x^2+x^3...=S$ donde $S \in R$ .

Si $x=0$ es trivial, así que supongamos $x \neq 0$ . Resta cada lado por 1 y divide ambos lados por $x$ .

Esto se va: $S=(S-1)x^{-1}$ . Resolución de $x$ rendimientos: $S*x=S-1$ que se simplifica en $S(x-1)=-1$ lo que da como resultado $1+x+x^2+x^3...=(1-x)^{-1}$

Tenga en cuenta las restricciones de dominio de $|x|<1$ se aplica.

Answer 4

Comenzamos con la serie geométrica simple $$\sum_{k=0}^n x^k = \dfrac{1-x^{n+1}}{1-x}$$ Supongamos ahora que $|x|<1$ . Teniendo en cuenta esta suposición, tomando el límite $n \to \infty$ da, $$\sum_{k=0}^{\infty} x^k = \dfrac{1}{1-x} \ , \ |x|<1$$ La parte superior $x$ término anulado debido a nuestra suposición.

Answer 5

$$1+x+x^2+x^3+\dots$$ $$=(1+x)(1+x^2+x^4+\dots)$$ $$=(1+x)(1+x^2)(1+x^4+\dots)$$ $$=(1+x)(1+x^2)(1+x^4)\dots$$ $$=\frac{1-x^2}{1-x}\frac{1-x^4}{1-x^2}\frac{1-x^8}{1-x^4}\dots$$ $$=\frac{1}{1-x}$$