Reducción de la fórmula del coeficiente binomial

Question

Creo que necesito usar $(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k$ pero no sé cómo. Estoy tratando de ver por qué

$$\frac{y!}{x!(y-x)!} \lambda^x \mu^{y-x} / \sum_{x,r:x+r=y}\frac{y!}{x! r!} \lambda^x \mu^r$$

es lo mismo que

$${y \choose x} \left(\frac{\lambda}{\lambda + \mu} \right)^x \left( \frac{\mu}{\lambda + \mu} \right)^{y-x}$$

Pero no veo por qué

Answer 1

El numerador de su LHS es por definición de ${n \choose k}$ igual a $${y \choose x} \lambda^x \mu^{y-x}$$ El denominador puede reescribirse como: $$\sum_{r=0}^y {y \choose r} \mu^r \lambda^{y-r} = (\mu+\lambda)^y = (\mu+\lambda)^x (\mu+\lambda)^{y-x}$$

Ahora bien, si se toma un cociente del numerador y el denominador simplificados, se obtendrá la respuesta deseada,

Answer 2

Parece que el índice r comienza en $r=0$ y el valor máximo de r es si $x=0$ . Es decir $r=y-x=y-0=y$ .

$$\sum_{r=0}^y\frac{y!}{x! r!} \lambda^x \mu^r \overset{substitution}{=}\sum_{r=0}^y\frac{y!}{(y-r)! r!}\lambda^{y-r} \mu^r$$

Aplique ahora el teorema del binomio.

Answer 3

Si se emparejan las dos expresiones y se cancelan los términos, se encuentra que hay que mostrar $$(\lambda + \mu)^y = \sum_{x,r : x+r = y} \frac{y!}{x! r!} \lambda^x \mu^r.$$