Si $a,b \in G$ demostrar que $ab$ y $ba$ tienen el mismo orden.

Question

Me pregunto si mi prueba es sólida.

Supongamos que $o(ab)=n$ para algún n. Entonces $(ab)^n=1$

$(ba)^{n+1}=baba..ba$ ( $n+1 ba:s$ )

$=b(ab)^na=b1a=ba$

Si el orden de un elemento en $G$ es $n$ entonces $x^{n+1}=x$ ¿verdad? ¿Así que por eso podemos concluir que deben tener el mismo orden?

Answer 1

Mostró $(ba)^n=1$ lo que demuestra que el orden de $ba$ es un divisor del orden de $ab$ .

Técnicamente no has demostrado que ambos órdenes sean iguales, aunque por supuesto puedes volver a hacer lo mismo empezando por $ba$ y entonces tendrás la orden de $ab$ es un divisor del orden de $ba$ y habrás terminado.