Si $a^n-b^n$ es un número entero para todo el valor integral positivo de $n$ Entonces $a$ , $b$ también deben ser enteros.

Question

Si $a^n-b^n$ es un número entero para todos los valores integrales positivos de n con a≠b, entonces a,b también debe ser un número entero.

Fuente: Teoría de números para los concursos de matemáticas Problema 201, página 34.

Deje que $a=A+c$ y $b=B+d$ donde A,B son números enteros y c,d son fracciones no negativas <1.

Como a-b es un número entero, c=d.

$a^2-b^2=(A+c)^2-(B+c)^2=A^2-B^2+2(A-B)c=I_2(say),$ donde $I_2$ es un número entero

Así que.., $c=\frac{I_2-(A^2-B^2)}{2(A-B)}$ es decir, una fracción racional $=\frac{p}{q}$ donde (p,q)=1.

Cuando intenté proceder para los valores más altos de n, las cosas se volvieron demasiado complejas para el cálculo.

Answer 1

Denota $I_n=a^n-b^n$ . Tenga en cuenta que si $(a,b)$ tiene la propiedad, entonces también lo ha hecho $(ma,mb)$ para $m\in\mathbb N$ ya que esto sólo reemplaza $I_n$ con $m^nI_n$ . Tenemos $I_1\ne 0$ porque $a\ne b$ y por lo tanto encontrar que $a=\frac{I_2+I_1^2}{2I_1}\in \mathbb Q$ digamos $a=\frac uv$ con $u\in\mathbb Z$ , $v\in\mathbb N$ . Luego $w:=vb=u-vI_1$ es un número entero, por lo tanto $b=\frac wv\in\mathbb Q$ . Si $v=1$ hemos terminado. Y si $v>1$ que $p$ ser un divisor de primera clase $v$ . Por la observación anterior sobre los múltiplos, podemos asumir que el trabajo $v=p$ . Escriba $a=A+\frac rp$ con $0<r<p$ y $A\in \mathbb Z$ . Wirth $B:=A+I_1$ obtenemos $b=B+\frac rp$ . De $a\ne b$ encontramos $A\ne B$ y por lo tanto puede escribir $A-B=p^st$ con $s\ge 0$ y $p\not\mid t$ .

Escoge $m\in\mathbb N$ con $mp\ge s+3$ y $p\not\mid m$ . Luego $$\begin{align}(pa)^{mp}&=(pA+r)^{mp}=r^{mp}+mp^2Ar^{mp-1}+\sum_{k=2}^{mp-1}{mp\choose k}p^kA^kr^{mp-k}+p^{mp}A^{mp}\end{align}$$ y por lo tanto $$\begin{align}p^{mp}I_{mp} &=mp^2r^{mp-1}(A-B)+\sum_{k=2}^{mp-1}{mp\choose k}p^kr^{mp-k}(A^k-B^k)+p^{mp}(A^{mp}-B^{mp})\\ &=mp^{2+s}r^{mp-1}t+p^{3+s}t\sum_{k=2}^{mp-1}\frac{{mp\choose k}}pp^{k-2}r^{mp-k}\frac{A^k-B^k}{A-B}+p^{mp}(A^{mp}-B^{mp})\\\end{align}$$ donde todo lo que se escribe como una fracción es de hecho un entero por divisibilidades bien conocidas. Ahora tenemos una contradicción porque el lado izquierdo y todos los sumandos del lado derecho excepto el primero son múltiplos de $p^{3+s}$ .

Answer 2

asumiendo $a \neq b$

si $a^n - b^n$ es un número entero para todos $n$ entonces también es un número entero para $n = 1$ y $n = 2$ .

A partir de ahí deberías ser capaz de probar que $a$ es un número entero.