Morfismos "finitos" o "de tipo finito

Question

Sea $X$ y $Y$ ser esquemas y $f:X\to Y$ un morfismo entre ellos.

Decimos que $f$ es de tipo finito si para cada afín abierto $spec(A)=U\subset Y$ existe una cubierta afín finita (abierta) de $f^{-1}(U)$ por $\{ V_i\}_{i=1}^n$ donde $V_i=spec(B_i)$ tal que $B_i$ es una $A$ -algbera.

Por otra parte $f$ es finito si $f^{-1}(U)$ es afín, digamos $f^{-1}(U)=spec(B)$ y $A$ es finito $B$ -módulo.

Me preguntaba por qué no tenemos la noción intermedia como sigue.

El mapa $f$ es tal que para cada afín $U=spec(A)$ tenemos $f^{-1}(U)=\bigcup_{i=1}^n V_i$ donde $V_i=spec(B_i)$ y $B_i$ es finito $A$ -módulo. Llamemos a esta propiedad tipo cuasi finito .

Así que la pregunta es la siguiente Supongamos que $f$ un morfismo de esquemas era de tipo cuasi finito entonces implicaría que en realidad es finito .

En caso afirmativo, no es necesaria tal definición.

Si la respuesta es negativa, ¿es porque no vemos este tipo de propiedad en la "naturaleza" y, por tanto, no necesitamos definirla?

Answer 1

La noción de cuasi-finito ya existe: es un morfismo de tipo finito con fibras finitas.

Teorema principal de Zariski en su versión de Grothendieck, afirma que un morfismo cuasi finito se descompone como una inmersión abierta en un esquema finito.