previsión del número de manos estrechadas en la mesa redonda

Question

Existen $x$ personas del país A y $y$ personas del país B. Se sientan alrededor de una mesa y se dan la mano con las personas de su izquierda y su derecha, pero sólo se dan la mano si son del mismo país. Queremos saber el número esperado de apretones de manos realizados.

mi pensamiento: dado que los países A y B sólo dan la mano a los suyos, la expectativa total es la suma de los países individuales. Dado que tenemos x personas de A, hay x+y-1 maneras de colocar a dos personas juntas, y ${x \choose 2}$ formas de seleccionar a personas del país A, 2 formas de sentarlas en una plaza de 2 personas, por lo que la expectativa de apretón de manos para las personas del país A es de $\frac{2{x \choose 2}}{x+y-1}$ .

Sin embargo, no estoy muy seguro de mi planteamiento. Agradeceré cualquier sugerencia.

Answer 1

Tu planteamiento parece correcto.

Alternativamente,...

En cada asiento, la probabilidad de que la persona sentada allí estreche la mano de la izquierda es $$\frac{x}{x+y}\frac{x-1}{x+y-1} + \frac{y}{x+y}\frac{y-1}{x+y-1}=\frac{x(x-1)+y(y-1)}{(x+y)(x+y-1)}$$

Así que si $X_i$ es el número de apretones de manos a la izquierda desde el asiento $i,$ tenemos que $X_i=0\text{ or }1.$ Y $X=X_1+\cdots+X_{x+y+1}$ es el número total de apretones de manos a la izquierda desde cualquier asiento, que es el número total de asientos.

Pero $E(X)=\sum E(X_i),$ y $$E(X_i)=P(X_i=1)=\frac{x(x-1)+y(y-1)}{(x+y)(x+y-1)}$$

Así que..: $$E(X)=(x+y)E(X_1)=\frac{x(x-1)+y(y-1)}{x+y-1}$$