Determinar el conjunto de todos los puntos donde la serie de Taylor de la función $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac {x^2}{(1+x^2)^n}$ en torno a $x=e$ converge

Question

Q. Determinar el conjunto de todos los puntos donde la serie de Taylor de la función $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac {x^2}{(1+x^2)^n}$ alrededor del punto $x=e$ converge a $f(x)$ .

Mi enfoque :

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac {x^2}{(1+x^2)^n}=x^2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac {1}{(1+x^2)^n}=x^2 \frac {1}{1-\frac {1}{1+x^2}}=x^2 \frac {1+x^2}{x^2} \; \text {for} \; |\frac 1{1+x^2}| \lt 1 \; \text {i.e.} \; x \neq 0$ ya que la suma es una serie geométrica.

$\therefore f(x)=1+x^2 \; \forall \; x \neq 0.$

También $f(0)=0+0+0\cdots=0.$

Ahora $f(e)=1+e^2, f'(e)=2e,f''(e)=2$ y $f^{(n)}(e)=0 \; \forall \; n \ge 3.$

La serie Taylor en torno a $x=e$ de $f(x)$ es $(1+e^2)+\frac {(x-e)(2e)}{1!}+\frac {(x-e)^2(2)}{2!}.$

Por tanto, la serie de Taylor es un polinomio en $x \neq 0$ y por tanto converge a $f(x)$ en $x\neq 0$ .

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¿Es correcta la solución que he nescrito? En particular, estoy indeciso sobre el argumento para el punto $x=0$ . Estoy confundido si $f$ se define allí o no.

Answer 1

Sin duda, aciertas al determinar a qué converge la serie. Pero la convergencia de la serie de potencias depende crucialmente de la convergencia de la serie geométrica $$ \sum \left(\frac{1}{1+x^2}\right)^n = \sum a^n, $$ que no converge para todos los valores posibles de $a$ pero para un subconjunto de ellos. Para lo cual $a$ converge la serie, y qué significa eso en términos de $x$ ?

Answer 2

Precisamente como ha calculado la función $f$ vemos que en $x=0$ la función arroja el valor $1$ mientras que la suma arroja el valor $0$ lo que implica que la serie de Taylor converge a la función $\forall \, x\neq0$ . Dado que la cuestión trata de la convergencia de las series de Taylor en torno a $x=e$ sustituimos $x$ como $(x-e)$ en la suma. Usando el mismo análisis decimos series de Taylor alrededor de $x=e$ converge a la función $\forall \, x\neq e$ .