Definición del tensor de estructura, ¿para qué sirve?

Question

El tensor de estructura se define así donde $(G^i_x, G^i_y)$ el gradiente i'th en un área cuadrada alrededor de un punto.

Sé que los tensores de estructura se utilizan en el análisis de imágenes - aquí se podría utilizar el tensor de estructura al definir las esquinas en una imagen. Las esquinas se caracterizan por tener orientaciones de gradiente que cambian bruscamente en algunos puntos. Por lo tanto, para mí, tiene sentido mirar a la diagonal del tensor de estructura (las sumas sobre gradientes wrt x o y).

Sin embargo, ¿qué sentido tiene tener $\sum_{i=1}^{n}{G^i_x, G^i_y}$ ? ¿No basta con considerar los elementos de la diagonal?

¿Por qué no usamos una matriz definida así?

$$ \mathbf{J} = \left[\begin{array}{r} \sum_{i=1}^{n}{G^i_x}^2\\ \sum_{i=1}^{n}{G^i_y}^2 \end{array}\right] $$ ¿en su lugar?

Answer 1

Considere el píxel central de las dos imágenes siguientes:

En ese píxel central, los tensores de estructura son: $$ \begin{pmatrix} 102.82 & 102.83 \\ 102.83 & 102.82 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} 102.82 & 9.9095 \\ 9.9095 & 102.82 \\ \end{pmatrix} $$

Las dos componentes diagonales del tensor de estructura son iguales en ambos casos (como puedes ver, he ajustado el contraste en una de las imágenes para que sea así). La única forma de distinguir estas dos geometrías es a través del elemento no diagonal.