¿Son profinitos los límites en forma de poste de los grupos finitos?

Question

Mi pregunta básica es

Pregunta 0: Sea $\mathcal{C}$ sea una categoría completa y $\mathcal{D}$ su subcategoría completa tal que $\mathcal{D}$ es cerrado bajo límites finitos (en $\mathcal{C}$ ). Sea $I$ sea una categoría delgada pequeña y $\Delta: I \rightarrow \mathcal{D}$ un diagrama. Es $X:=\lim_{\mathcal{C}} \Delta$ ¿un límite inverso? Es decir, ¿existe un dirigida hacia abajo poset $J$ y un diagrama $\Delta^*: J \rightarrow \mathcal{D}$ tal que $X=\lim_{\mathcal{C}} \Delta^*$ ?

Me parece que la respuesta es sí: Se pueden definir objetos de $J$ sean subconjuntos finitos $I_0$ de $Ob(I)$ . Ordenarlos por inclusión inversa $"\leq"$ son los morfismos. El conjunto $(J, \leq)$ se dirige, obviamente, hacia abajo. Dado $I_0 \in Ob(J),$ configure $\Delta^*(I_0)=\lim_\mathcal{C}(\Delta \restriction_{I_0})$ donde $\Delta \restriction_{I_0}$ es $\Delta$ precompuesta con la inlución de la subcategoría completa en $I_0$ a $I$ . Esto pertenece a $\mathcal{D}$ por suposiciones. Dado $I_0 \subseteq I_1 \in Ob(J),$ el morfismo $\Delta^*(I_1) \rightarrow \Delta^*(I_0)$ se induce a partir del cono de $\Delta^*(I_1)$ en $\Delta \restriction_{I_0}$ utilizando la propiedad universal de $\Delta^*(I_0)$ .

Así que básicamente esta construcción lanza límites de subdiagramas finitos para hacer que el diagrama se dirija hacia abajo. Parece obvio que esto no cambia el límite, es decir: la inclusión de categorías $I \subseteq J$ (objetos a singletons) induce un isomorfismo único $\lim_{\mathcal{C}} \Delta^* \rightarrow \lim_{\mathcal{C}} \Delta$ (compatible con los conos obvios).

Pregunta 1: ¿Funciona de verdad o me estoy olvidando de algo?

Por ejemplo, si se fija $\mathcal{C}$ para ser el cat. de grupos topológicos y $\mathcal{D}$ la subcat. completa de los grupos discretos finitos, se obtendría que los grupos profinitos pueden definirse equivalentemente como límites de grupos finitos con respecto a posets generales, no necesariamente dirigidos. En particular, un producto $G=\prod_{i \in I} G_i$ de los grupos discretos finitos es siempre profinita, ya que es Hausdorff, totalmente desconectada y compacta. Para realizarlo como límite inverso, una forma de hacerlo es escribir $G=\varprojlim_{I_0} \prod_{I_0}G_i$ lo que concuerda con la construcción anterior.

Pregunta 2: Si esto funciona, ¿hasta qué punto puede generalizarse? ¿Funciona una versión de esta estrategia cuando $I$ es pequeño y localmente finito, es decir, los conjuntos hom son finitos? En términos más generales, ¿cuál es un ejemplo de diagrama $\Delta$ a grupos finitos discretos tales que $\lim \Delta$ ¿no es profinito?

Muchas gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Esto funciona, y de hecho se generaliza a cualquier límite. Es decir, en una categoría con límites finitos, cada límite se puede escribir como un límite inverso de límites finitos.

En concreto, supongamos $\mathcal{C}$ es cualquier categoría con límites finitos y $\Delta:I\to\mathcal{C}$ es un diagrama. Sea $J$ sea el conjunto de todos los pares $(o,m)$ donde $o$ es un conjunto finito de objetos de $I$ y $m$ es un conjunto finito de morfismos entre objetos de $o$ . Pedimos $J$ por inclusión inversa en cada coordenada, por lo que $J$ se dirige hacia abajo. Para cada $j=(o,m)\in J$ , dejemos que $L_j$ sea el límite del diagrama formado por $j$ . Consideremos explícitamente la categoría $F_j$ cuyos objetos son $o\times\{0,1\}$ y tiene un morfismo $(A,0)\to (B,1)$ para cada morfismo $A\to B$ sur $m$ . Existe un functor obvio $F_j\to I$ y $L_j$ es el límite de la composición $F_j\to I\stackrel{\Delta}{\to}\mathcal{C}$ . (Obsérvese que utilizamos esta construcción $F_j$ en lugar de sólo la subcategoría de $\Delta$ generado por $m$ ya que esa subcategoría puede no ser finita, mientras que $F_j$ siempre es finito ya que nos hemos "olvidado" de la composibilidad de nuestros morfismos).

Estos límites finitos $L_j$ forman naturalmente un diagrama indexado por $J$ . Se puede comprobar fácilmente que un límite inverso de este diagrama es lo mismo que un límite del diagrama original $\Delta$ .

En particular, se deduce que el límite de cualquier diagrama de grupos discretos finitos es un grupo profinito.