Expresión para $\beta =1$ sur $\sum_r r^\beta \ln r$
Hace poco se me ocurrió utilizar la siguiente identidad:
$$ (1!2! 3! \dots n!) (12^2 3^3 4^4 \dots n^n) = n!^{n+1}$$
Dividiendo ambos lados por $n^{n(n+1)/2}$ y utilizando $1+2+3 \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ :
$$ (1!2! 3! \dots n!) (\frac{1}{n}(\frac{2}{n})^2 (\frac{3}{n})^3 (\frac{4}{n})^4 \dots (\frac{n}{n})^n) = \frac{n!^{n+1}}{n^{n(n+1)/2}}$$
Elevación de ambos bandos al poder $1/n$ :
$$ (1!2! 3! \dots n!)^{\frac{1}{n}} ((\frac{1}{n})^{\frac{1}{n}}(\frac{2}{n})^{\frac{2}{n}} (\frac{3}{n})^{\frac{3}{n}} (\frac{4}{n})^{\frac{4}{n}} \dots (\frac{n}{n})^{\frac{1}{n}}) = \frac{n!^{1+1/n}}{n^{(n+1)/2}}$$
En $\ln$ ambos lados:
$$ \sum_{r=1}^n \ln(r!) \frac{1}{n} + \sum_{r=1}^n \frac{r}{n} \ln(\frac{r}{n}) = \ln(\frac{n!^{1+1/n}}{n^{(n+1)/2}}) $$
Dividiendo ambos lados con $1/n$ :
$$ \sum_{r=1}^n \ln(r!) \frac{1}{n^2} + \sum_{r=1}^n \frac{r}{n} \ln(\frac{r}{n})\frac{1}{n} = \frac{1}{n} \ln(\frac{n!^{1+1/n}}{n^{(n+1)/2}}) $$
En el límite $n \to \infty $ entonces $ \sum_{r=1}^n \frac{r}{n} \ln(\frac{r}{n})\frac{1}{n} \to \int_0^1 x \ln x dx = -1/4 $ . Por lo tanto,
$$ \sum_{r=1}^n \ln(r!) \frac{1}{n^2} - \frac{1}{4}\sim \frac{1}{n} \ln(\frac{n!^{1+1/n}}{n^{(n+1)/2}}) $$
Así,
$$ \sum_{r=1}^n \ln(r!)\frac{1}{n^2} \sim (1+ \frac{1}{n} ))( n \ln(n) -n + O(\ln n)) - \frac{(n+1)}{2}\ln(n) + \frac{1}{4} $$
Usando la aproximación de Stirling en el R.H.S:
$$ \sum_{r=1}^n \ln(r!)\frac{1}{n^2} \sim \frac{n-1}{2} \ln n + \ln n -\frac{3}{4} + O(\frac{\ln n}{n}) $$
Usando la aproximación de Stirling en el L.H.S:
$$ \sum_{r=1}^n(r \ln r + r + O(\ln r))\frac{1}{n^2} \sim \frac{n-1}{2} \ln n + \ln n -\frac{3}{4} + O(\frac{\ln n}{n}) $$
Simplificando ambos lados:
$$ \sum_{r=1}^n r \ln r \sim n^2 \frac{n-1}{2} \ln n + n^2\ln n -\frac{(5n+2)n}{4} + O(n \ln n + \ln n!) $$
Pregunta
No tuve en cuenta el error al convertir a integral cuando hice el paso "En el límite $n \to \infty $ entonces $ \sum_{r=1}^n \frac{r}{n} \ln(\frac{r}{n})\frac{1}{n} \to \int_0^1 x \ln x dx = -1/4 $ " ¿Cuál es el error? ¿Existe una lista de expresiones asintóticas para $\sum r^\beta \ln r$ sin utilizar $ \sum r^\beta \leq \sum r^\beta \ln r \leq \sum r^{\beta + 1}$ ?
