Un homeomorfismo local sobreyectivo es un homeomorfismo

Question

De C. Godbillon Elementos de topología algebraica capítulo VII (Espacios de cobertura), sección 1 (Homeomorfismos locales). Tenemos el siguiente problema :

Sea $p : E \to I$ sea un homeomorfismo local de un espacio conexo de Hausdorff $E$ al intervalo unitario $I=[0,1]$ . Si $p$ es suryectiva, entonces es un homeomorfismo.

Basta con demostrar que $p$ es inyectiva; sin embargo, no tengo muy claro cómo demostrarlo.

Además, estoy interesado en la "optimalidad" de este resultado: ¿qué propiedades del intervalo unitario (porque generalmente no es cierto si se sustituye $I$ por algún otro espacio) permiten que esto sea cierto, y ¿podemos deducir de ello una afirmación más general? Se agradecerá cualquier ayuda.

(Como contexto adicional, creo que se podría utilizar este resultado para demostrar que todo espacio de cobertura en $I$ (y por tanto $I^n$ ) es trivial).

Answer 1

Una pista: Un homeomorfismo local suryectivo de un espacio Hausdorff compacto a un espacio Hausdorff conexo es un mapa de cobertura, véase, por ejemplo. esta pregunta . Así pues, basta con demostrar que su espacio $E$ es compacto. (Por ejemplo, utilizando la clasificación de las variedades unidimensionales, pero también se puede demostrar directamente utilizando el hecho de que $E$ es localmente conectada por caminos y, por lo tanto, conectada y considerando la imagen de un camino que conecta dos puntos límite distintos).

Lo mismo ocurre con los mapas a discos cerrados de dimensión superior $f: E\to D^n$ . Pero hay que suponer que cada componente de $\partial E$ es compacta más la suposición de que $H_{n}(E, \partial E)\cong {\mathbb Z}$ (sustituyendo la conectividad en el caso $n=1$ ). Esto garantiza que $E$ es compacta y conexa.