¿Cuál es la norma del operador de esta matriz $\left [\begin{smallmatrix}1&3\\2&0\end{smallmatrix}\right ]$ ?

Question

Sea $$A=\begin{bmatrix}1&3\\2&0\end{bmatrix}.$$ Pregunta: ¿Qué es el $\|A\|$ ?

Toma, $\|A\|$ es la norma del operador de $A$ en el sentido de que $$\|A\|=\inf \left \{C\geq 0:\|Ax\|\leq C\|x\|,\quad x\in\mathbb{R}^2\right \}.$$ O, lo que es lo mismo, en un senset que $$\|A\|=\sup \left \{\frac{\|Ax\|}{\|x\|}:x\neq 0,\quad x\in\mathbb{R}^2\right\}.$$

Ensayo 1) $$AA^T=\begin{bmatrix}10&2\\2&4\end{bmatrix}.$$ Y la ecuación característica pasa a ser $$|AA^T-\lambda I|=(10-\lambda )(4-\lambda )-4=\lambda ^2-14\lambda +36,$$ que tiene raíces $\lambda _1=7+\sqrt{13}$ y $\lambda _2=7-\sqrt{13}$ .
Esto conduce a $$\|A\|=\sqrt{\|AA^T\|}=\sqrt{\max _i|\lambda _i|}=\sqrt{7+\sqrt{13}}.$$ Ensayo 2) Aunque $A$ no es simétrico, tiene rango completo de espacio de eigens.
Así que puedo proceder de la siguiente manera: $$|A-\lambda I|=(1-\lambda )(-\lambda )-6=\lambda ^2-\lambda -6=(\lambda -3)(\lambda +2).$$$\lambda _1'=-2$ , $\lambda _2'=3$ , $\max \limits _i\lambda _i'=3$ . $$\|A\|=\max _i|\lambda _i'|=3.$$ Por lo tanto, no coinciden. ¿Cuál es la respuesta correcta?

Como referencia, he leído Conrad : Cálculo de la norma de una matriz .

Para una explicación detallada de la segunda prueba, véase mi propia respuesta a continuación

Answer 1

Su argumento funcionaría si $A$ eran unitariamente diagonalizables. Pero no lo es, es diagonalizable pero no unitariamente diagonalizable. Su $x_2$ no es un vector propio de $A$ . El espacio eigénico de $\lambda=3$ recorre $(3,2)$ que no es ortogonal a $(1,1)$ .

Para añadir, incluso antes de calcular nada: una matriz real con valores propios reales es unitariamente diagonalizable si y sólo si es simétrica.

Answer 2

Explicación detallada de la segunda prueba .

La matriz $$A=\begin{bmatrix}1&3\\2&0\end{bmatrix}$$ tiene el polinomio característico $(1-\lambda)(-\lambda)-6=(\lambda+2)(\lambda-3)$ . Sea $\lambda_1=-2$ y $\lambda_2=3$ . Entonces \begin{align*} A+2I&=\begin{bmatrix}3&3\\2&2\end{bmatrix} \\ A-3I&= \begin{bmatrix}-2&3\\2&-3\end{bmatrix} \end{align*} y los correspondientes vectores propios unitarios son $$x_1=\begin{bmatrix}\frac1{\sqrt2}\\-\frac1{\sqrt2}\end{bmatrix}\text{ and } x_2=\begin{bmatrix}\frac3{\sqrt{13}}\\\frac{-2}{\sqrt{13}}\end{bmatrix}.$$ Forman una base ortonormal para $\mathbb R^2$ . Ahora, para cualquier $x\in\mathbb R^2$ , $$x=c_1x_1+c_2x_2$$ para algunos $c_1,c_2\in\mathbb R$ . De ello se deduce que \begin{align*} Ax &=A(c_1x_1+c_2x_2)\\ &=c_1(Ax_1)+c_2(Ax_2)\\ &=\lambda_1c_1x_1+\lambda_2c_2x_2 \end{align*} y que $$\frac{||Ax||^2}{||x||^2}=\frac{{\lambda_1}^2{c_1}^2+{\lambda_2}^2{c_2}^2}{{c_1}^2+{c_2}^2}\le\left(\max\{|\lambda_1|,|\lambda_2|\}\right)^2.$$ Entonces $$\frac{||Ax||}{||x||}\le\max\{|\lambda_1|,|\lambda_2|\},$$ y podemos tomar el supremo del lado izquierdo, para todo $x\in\mathbb R^2$ para concluir $$||A||\le3.\tag{1}$$

Para la desigualdad inversa, tenemos $$|\lambda_1|=\frac{||Ax_1||}{||x_1||}\le||A||.$$ Lo mismo ocurre con $i=2$ y así, $$3=\max\{|\lambda_1|,|\lambda_2|\}\le||A||.\tag{2}$$

Por (1) y (2), tenemos $||A||=3$

Lo que quiero decir es que, aunque $A$ no es simétrica, puede ser ortogonalmente diagonalizable y podemos obtener $||A||$ simplemente evaluando los valores propios de $A$ y no evaluando los valores propios de $AA^T$ . Pero, ¿es correcto el segundo juicio?