Conservación de la energía en mecánica cuántica

Question

En el libro de Griffiths Introducción a la mecánica cuántica (segunda edición, página 37) se indica:

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo dice $$\hat{H} \psi_{n} = E_{n}\psi_{n}$$ s $$\langle H \rangle = \int \Psi^* H \Psi dx = \int \left(\sum c_{m} \psi_{m}\right)^*H\left(\sum c_{n} \psi_{n}\right)dx = \sum |c_{n}|^{2}E_{n}$$

Esto demuestra que la probabilidad de obtener una energía determinada es independiente del tiempo.

No veo cómo obtener $\int \Psi^* H \Psi dx = \int (\sum c_{m} \psi_{m})^*H(\sum c_{n} \psi_{n})dx $ desde $\Psi(x,t) = \sum c_{n} \psi_{n}e^{-iE_{n}t}$ (no está claro que los exponenciales se cancelen, ya que esto lo explicaría).

Gracias por su ayuda.

Answer 1

El procedimiento completo es el siguiente: \begin{align} ⟨H⟩ & = \int \Psi^* H \Psi dx \\ & = \int \left(\sum_m e^{-iE_m t}c_{m} \psi_{m}\right)^*H\left(\sum_n e^{-iE_n t}c_{n} \psi_{n}\right)\mathrm dx \\ & = \sum_m \sum_n e^{iE_m t}e^{-iE_n t}c_{m}^* c_{n}\int \psi_{m}^*H \psi_{n}\mathrm dx \\ & = \sum_m \sum_n e^{i(E_m-E_n) t}c_{m}^* c_{n}\int \psi_{m}^* E_n\psi_{n}\mathrm dx \tag{$\ast$} \\ & = \sum_m \sum_n e^{i(E_m-E_n) t}c_{m}^* c_{n}E_n\int \psi_{m}^* \psi_{n}\mathrm dx \tag{$\ast$} \\ & = \sum_m \sum_n e^{i(E_m -E_n) t}c_{m}^* c_{n}E_n\delta_{mn} \tag{$\star$} \\ & = \sum_n |c_{n}|^{2}E_{n} \end{align} y, sobre todo, se basa en la ortogonalidad de la $\psi_n$ ir de $(\ast)$ a $(\star)$ . Eso impone $m=n$ dentro de la suma, lo que acaba con los exponenciales.