¿Cómo puedo demostrar por inducción matemática? $\sum_{i=1}^{n} (2i-1) = n²-1$ a n>=2

Question

$\sum_{i=1}^{n} (2i-1) = n²-1$ a n>=2

Prueba:

primer paso: $\sum_{i=2}^{n=2} (2i-1) = (2*2)-1 = 3$ y $n²-1 = (2*2)-1=3$

así que $\sum_{i=2}^{n=2} (2i-1) = n²-1$

$\sum_{i=1}^{k+1} (2i-1) = \sum_{i=1}^{k} (2i-1)+ 2(k+1)-1$

$=k²-1+2k+1$

$=k²+2k$

$=(k+1)²-1$

¿Que está bien?

Answer 1

Tenemos

$\sum_{i=1}^n (2i-1)=\left(2\sum_{i=1}^n i\right) -n=n(n+1)-n=n^2$ .

Así que lo que intenta demostrar es imposible. Hay algunos fallos en tu inducción. Por ejemplo el principio de la inducción debería ser $n=2$ y entonces la suma que tienes que evaluar es

$\sum_{i=1}^2 (2i-1)=(2-1)+(4-1)=4$ .

Su inducción ha terminado $n$ y la suposición ya falla aquí, como puedes ver.