$\limsup_{k\rightarrow\infty}X_k/k$ para variables aleatorias idénticamente distribuidas $X_k$ .

Question

Sea $\{X_k\}_{k\in\mathbb{N}}$ sea una secuencia de variables aleatorias idénticamente distribuidas y no independientes sobre los números naturales. Me interesan las condiciones que garanticen que con casi total seguridad $$\limsup_{k\rightarrow\infty}\frac{X_k}{k} < \infty.$$ Una de estas condiciones es $\mathbb{E}(X_k)<\infty$ desde entonces $$\sum_{k\in\mathbb{N}}P(X_k\ge k) = \mathbb{E}(X_k)<\infty.$$ Borel-Cantelli da entonces $P(\limsup_{k\rightarrow\infty}\{\omega\in\Omega\mid\ X_k\ge k\}) = 0$ lo que significa que para cada $\omega$ existe $N\in\mathbb{N}$ tal que $X_k<k$ para todos $k\ge N$ . Por lo tanto obtenemos que $\limsup_{k\rightarrow\infty}\frac{X_k}{k}\le 1$ .

Las variables aleatorias con las que tengo que tratar son bastante complejas y por eso me interesa una condición menos estricta que garantice el límite finito superior.

Gracias de antemano.

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EDITAR

Mi opinión sobre las condiciones ampliadas. En la prueba de expectativas y en la respuesta dada buscamos un $r$ tal que $\sum_{k\in\mathbb{N}}P(X_k>rk)<\infty$ . Intentaré explorar si alguna variable aleatoria que sustituya a $r$ ayuda, ya que no necesitamos que el límite superior sea igual para todos $\omega$ sólo finito.

Answer 1

Acabo de ver tu comentario; ten en cuenta que asumo que el $X_k$ son independientes. Relevante o no, parece interesante.

Lo siguiente parece que debe estar mal, no puede ser tan sencillo. Pero no veo dónde está el error. Supongamos que $X_k\ge0$ . Me parece que si $\Bbb E[X_k]<\infty$ entonces $\limsup X_k/k=0$ casi seguro, mientras que si $\Bbb E[X_k]=\infty$ entonces $\limsup X_k/k=\infty$ casi seguro.

En primer lugar, si $\Bbb E[X_k]<\infty$ : Usted ha demostrado que $\limsup X_k/k\le 1$ casi seguro. Lo mismo se aplica a $NX_k$ para cualquier número entero positivo $N$ de modo que $\limsup X_k/k\le1/N$ casi seguro, por lo tanto $\limsup X_k/k=0$ casi seguro.

Por otra parte, obsérvese que para $X\ge0$ tenemos $\Bbb E[X]<\infty$ sólo si $\sum P(X\ge k)<\infty$ independientemente de si $X$ es de valor entero. Por lo tanto, si el $X_k\ge 0$ son iid y $\Bbb E[X_k]=\infty$ entonces Borel-Cantelli demuestra que $\limsup X_k/k\ge1$ casi con toda seguridad, y aplicando de nuevo esto a $cX_k$ muestra que, de hecho $\limsup X_k/k=\infty$ casi seguro.

Edita: ¡Quizá esto sea cierto! Al principio no vi cómo, pero de hecho es equivalente a la condición que Robert Israel dio en la respuesta que borró por irrelevante. Diciendo $\sum\ln F(rk)>-\infty$ para algunos $r>0$ es lo mismo que $\sum \ln F(k)>-\infty$ por monotonía. Dado que $F(k)\to1$ desde abajo esto es lo mismo que $\sum(1-F(k))<\infty$ que es lo mismo que $\sum P(X_k\ge k)<\infty$ .