Demostrar la ley distributiva de los números naturales

Question

¿Es correcta mi prueba?

Si definimos la multiplicación para los números naturales como

$a \times S(b) = (a \times b) + a$

$a \times 0 = 0$

Y además como

$a + 0 = a$

$a + S(b) = S(a+b)$

Dónde $S(n)$ es la función sucesora de $n$ (y supongamos que ya hemos demostrado la propiedad conmutativa, etc).

Entonces quiero probar que $a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$ por inducción en $c$ .

Caso base: Sea $c=0$ . Entonces $a \times (b + 0) = a \times b$ y $(a \times b) + (a \times 0) = (a \times b) + 0 = a \times b$ . Por lo tanto $a \times (b + 0) = (a \times b) + (a \times 0)$ .

Paso inductivo: Supongamos $a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$ para algunos $c$ . Queremos demostrar que $a \times (b + S(c)) = (a \times b) + (a \times S(c))$ .

$a \times (b + S(c)) = a \times (S(b + c)) = a \times (b+c) + a = (a \times b) + (a \times c) + a$

y

$(a \times b) + (a \times S(c)) = (a \times b) + (a \times c) + a$

Dado que se puede demostrar que ambos lados equivalen a la misma cantidad $(a \times b) + (a \times c) + a$ cerramos la inducción.

Answer 1

Perfecto... aunque quizá quieras tener en cuenta que necesitas la asociatividad de la suma, ya que:

$a \times (b + S(c)) = a \times (S(b + c)) = (a \times (b+c)) + a = \color{red}{(}(a \times b) + (a \times c)\color{red}) + a$

mientras:

$(a \times b) + (a \times S(c)) = (a \times b) + \color{red}((a \times c) + a\color{red})$