Encontrar el límite de una secuencia convergente

Question

Supongamos que $a > 0$ . Sea la secuencia $\{x_n\}$ definirse: $x_1=\sqrt a$ ,
$x_{n+1}=\sqrt{a+x_n}$ para todos $n\ge1$ . Necesito demostrar que la secuencia converge, y he demostrado que $x_n<x_{n+1}$ pero no estoy seguro de cómo demostrar que existe un límite en la función. Pensé que sería $a$ pero creo que hay un dilema si $a<1$ .

Answer 1

Si $b>0$ es cualquier número tal que $b\ge\sqrt{a+b}$ entonces $b$ es un límite superior: Tenemos $x_1=\sqrt a\le\sqrt{a+b}\le b$ y por inducción $x_{n+1}=\sqrt{a+x_n}\le\sqrt{a+b}\le b$ . Puede utilizar $b=a$ proporcionado $a\ge\sqrt{2a}$ es decir, siempre que $a\ge2$ . Pero si $a<2$ puede simplemente tomar $b=2$ entonces $\sqrt{a+2}\le\sqrt 4=2$ .