Evalúe $\int\frac{1}{1+x^6} \,dx$

Question

Me he encontrado con el siguiente problema

Evalúe $$\int\frac{1}{1+x^6} \,dx$$

Cuando le pedí una pista a mi profesor me dijo que primero evaluara

$$\int\frac{1}{1+x^4} \,dx$$

He intentado factorizar $1+x^6$ como

$$1+x^6=(x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1)$$ y luego escribir

$$I=\int\frac{1}{1+x^6} \,dx=\int\frac{1}{(x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1)} \,dx=\int\frac{1+x^2-x^2}{(x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1)} \,dx$$ $$I=\int\frac{1}{x^4 - x^2 + 1} \,dx-\int\frac{x^2}{(x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1)} \,dx$$

Sin embargo $$x^4-x^2+1=\left(x^2-\frac12\right)^2+\frac{3}{4}$$ Pero no puedo ver cómo ayuda

También he intentado aplicar ingeniería inversa al solución dada por Wolfram Alpha

Y necesito tener términos similares a
$$\frac{x^2-1}{x^4-x^2+1} \quad , \quad \frac{1}{1+x^2} \quad , \quad \frac{1}{(x+c)^2+1}\quad , \quad \frac{1}{(x+c)^2+1}$$ en integrando, ¿Cómo puedo transformar mi integrando de aspecto bonito en estos términos enormes?

Dado que en los exámenes no tendré acceso a WA ni tiempo para hacer ingeniería inversa de la solución, además no parece intuitivo, ¿hay alguna manera de resolver este problema con algunos buenos trucos o tal vez sustituciones?

Answer 1

He aquí un bonito "truco" que me enseñó mi antiguo profesor

$$ \int\frac{dx}{1+x^6} = \frac{1}{2} \int \frac{(1-x^2+x^4)+x^2+(1-x^4)}{(1+x^2)(1-x^2+x^4)} dx \\ = \frac{1}{2}\int \frac{dx}{1+x^2} + \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1+x^6} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1-x^2}{1-x^2+x^4} dx \\ = \frac{1}{2}\int \frac{dx}{1+x^2} + \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1+x^6} dx - \frac{1}{2} \int \frac{1-\frac{1}{x^2}}{x^2-1+\frac{1}{x^2}} dx $$

La primera integral es simplemente la arctangente de $x$ . La segunda puede resolverse sustituyendo $u = x^3$ . La tercera puede resolverse sustituyendo $t = x + \frac{1}{x}$

Answer 2

Con $1+x^6= (1+x^2)(x^4-x^2+1)$ descomponga el integrando

\begin{align} & \int \frac{dx}{1+x^6} =\frac13\int \left( \frac{1}{1+x^2}+\frac12\frac{x^2+1}{x^4-x^2+1}- \frac32\frac{x^2-1}{x^4-x^2+1}\right)dx \\ &\hspace{15mm}=\frac13\int \frac{dx}{1+x^2}+\frac16\int \frac{d(x-\frac1x)}{(x-\frac1x)^2+1}dx - \frac12\int \frac{d(x+\frac1x)}{(x+\frac1x)^2-3} dx \\ \end{align}

Answer 3

Pista:

$$1+x^6$$ factores con las raíces sextas de menos uno, $\pm i$ y $\dfrac{\pm\sqrt3\pm i}2$ y agrupando las raíces conjugadas, obtenemos una factorización real:

$$(1+x^2)(1+\sqrt3 x+x^2)(1-\sqrt3 x+x^2).$$

De ello deducimos una descomposición en fracciones simples,

$$\frac1{1+x^6}=a\frac{2x+b}{1+x^2}+c\frac{(2x+\sqrt3)+d}{1+\sqrt3x+x^2}+e\frac{(2x-\sqrt3)+f}{1-\sqrt3x+x^2}.$$

Luego cagando las variables,

$$a\frac{2x+b}{1+x^2}+c\frac{2x'+d}{1+x'^2}+e\frac{2x''+f}{1+x''^2}$$ son fáciles de integrar.

Answer 4

Por expansión de fracción parcial, $$I=\int{1\over x^6+1}dx=\int{1\over f(x)}={1\over f'(x_1)}\int{dx\over x-x_1}+{1\over f'(x_2)}\int{dx\over x-x_2}\ldots+{1\over f'(x_6)}\int{dx\over x-x_6}=\sum_{k=0}^6\ln(x-x_k)^{1\over f'(x_k)}$$ donde $x_k$ son las raíces del polinomio denominador. Las seis raíces complejas de 1 son $(-1)^{1/6}=e^{(2k+1)\pi i/6},\;k=0\ldots5$ Así que la integral es

[Corrección/simplificación: ${1\over f'(x_k)}={1\over6x_k^5}=-{x_k\over6}$ ] $$I={1\over6}\ln\left(\Pi_{k=0}^5\left(x-e^{\frac{(2k+1)\pi}{6}i}\right)^{e^\frac{-5(2k+1)\pi i}{6}}\right)={1\over6}\ln\left(\Pi_{k=0}^5\left(x-e^{\frac{(2k+1)\pi}{6}i}\right)^{-e^\frac{(2k+1)\pi i}{6}}\right)$$

Answer 5

Como se sugiere, puede transformar su denominador $1+x^6$ en $(1+x^2)(1-x^2+x^4)$ . A continuación, puedes utilizar fracciones parciales para dividir lo siguiente en algo que se pueda integrar:

$\Large\int \frac{1}{(1+x^2)(1-x^2+x^4)}dx$

Espero que te sirva de ayuda. Parece una integración muy desagradable y sucia de hacer. Saludos cordiales.