Cómo encontrar $\int_{-1}^1 \frac{\cos x}{a^x+1}\mathrm dx$

Question

Evaluar $$\int_{-1}^1 \frac{\cos x}{a^x+1}\mathrm dx$$ where $ a$ is a real parameter $a\geq1$.

Puedo encontrar fácilmente la integral definida $a=1$. Es $\sin(1)$.

En wolframalpha.com cuando pongo $\displaystyle\int_{-1}^1 \frac{\cos x}{a^x+1}\text{d}x$ me muestra una fórmula muy complicada con números complejos y funciones no estudio pero me dice que esa integral definida es $= 0.841471\ldots$.

¿Cómo puedo encontrar integral?

Answer 1

$\newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, nº 1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\dsc}[1]{\displaystyle{\color{red}{#1}}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\Li}[1]{\,{\rm Li}_{#1}} \newcommand{\norm}[1]{\left\vert\left\vert\, nº 1\,\right\vert\right\vert} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}$ \begin{align}&\color{#66f}{\large% \int_{-1}^{1}{\cos\pars{x} \over a^{x} + 1}\,\dd x}= \int_{0}^{1}\cos\pars{x}\pars{{1 \over a^{x} + 1} + {1 \over a^{-x} + 1}}\,\dd x \\[5mm]&=\int_{0}^{1}\cos\pars{x} \pars{{1 \over a^{x} + 1} + {a^{x} \over 1 + a^{x}}}\,\dd x =\int_{0}^{1}\cos\pars{x}\,\dd x =\color{#66f}{\large\sin\pars{1}}\approx{\tt 0.8415} \end{align}

Answer 2

Una de las primeras observaciones que podemos hacer es que usted está en la integración de una función en un intervalo que es simétrica alrededor de $0$ (es decir, puede ser escrito como $[-c,c]$). Tengo un truco para usted, siempre que usted encuentre similar integrales definidas comenzar por escribir la función que se está integrando como una suma de una función par y una función impar. De hecho, se puede demostrar que para cada función se $f$, existe dos funciones tales que $f=f_{\mathrm e}+f_{\mathrm o}$ $f_{\mathrm e}$ es incluso y $f_{\mathrm o}$ es impar. Específicamente $$f_{\mathrm e}(x)=\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}\qquad f_{\mathrm o}(x)=\dfrac{f(x)-f(-x)}{2}.$$ Usted puede preguntarse: "¿por Qué molestarse? Parece que estamos haciendo un complicado expresión a la mirada más intimidante." Pero espera, vas a ver la utilidad de este proceso en un poco. Volvamos a nuestros integral, aplicando la propiedad que acabamos de comentar para la función de $f\colon x\mapsto\tfrac{\cos (x)}{a^x+1}$

$$\eqalign{ \int_{-1}^1 \frac{\cos x}{a^x+1}\mathrm dx&=\int_{-1}^1 \big[f_{\mathrm o}(x)+f_{\mathrm e}(x)\big]\mathrm dx\\ &=\int_{-1}^1 f_{\mathrm o}(x)\,\mathrm dx+\int_{-1}^1 f_{\mathrm e}(x)\,\mathrm dx\\ &=\int_{-1}^1f_{\mathrm e}(x)\,\mathrm dx.} $$

Desde

$$\int_{-c}^c(\text{odd function})(x)\,\mathrm dx=0.\tag{$\forall c\in\Bbb R$}$$

Ahora si se calculan $f_{\mathrm e}$ usted encontrará que tiene el ridículamente sencillo formulario:

$$\requieren{cancel}\eqalign{f_{\mathrm e}(x)&=\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}\\&=\dfrac{\frac{\cos (x)}{a^x+1}+\frac{\cos(-x)}{a^{-x}+1}}{2}\\&=\dfrac{\frac{\cos (x)}{a^x+1}+\frac{\cos(x)}{a^{-x}+1}}{2}\\&=\dfrac{\cos x}{2}\left(\dfrac{1}{a^x+1}+\dfrac1{a^{-x}+1}\right)\\&=\dfrac{\cos x}2{\left(\dfrac{2+a^{-x}+a^x}{a^{-x}a^x+a^x+e^{-x}+1}\right)}\\&=\dfrac{\cos x}{2}, }$$ cual es la forma más sencilla de integrar de la función original. Por lo tanto, obtener $$\int_{-1}^1 \frac{\cos x}{a^x+1}\mathrm dx=\int_{-1}^1\frac{\cos x}2\mathrm dx=\int_0^1\cos x\,\mathrm dx=\sin1.\tag{$\forall\geqslant1$}$$

Incluso podemos dar la siguiente generalización:

$$\int_{-c}^c\frac{\cos x}{a^x+1}\mathrm dx=\int_{-c}^c\frac{\cos x}2\mathrm dx=\int_0^c\cos x\,\mathrm dx=\sin c.$$

Answer 3

Que $$I=\int_{-1}^1 \frac{\cos (x)}{a^x+1}\mathrm dx\tag1$ $ usando identidad $$\int_a^bf(x)\;\mathrm dx=\int_a^bf(a+b-x)\;\mathrm dx$ $ $$I=\int_{-1}^1 \frac{\cos (-x)}{a^{-x}+1}\mathrm dx=\int_{-1}^1 \frac{a^{x}\cos (x)}{1+a^{x}}\mathrm dx\tag2$$ agregar $(1)$ y $(2)$, $$2I=\int_{-1}^1\cos x\;\mathrm dx=\sin x\,\Bigg|_{-1}^1=2\sin 1\qquad\implies\qquad I=\bbox[8pt,border:3px #FF69B4 solid]{\color{red}{\large\sin 1}}$ $ tenga en cuenta que $\cos(-x)=\cos(x)$ y $\sin(-x)=-\sin(x)$. Usted podría estar interesado en ver las funciones pares e impares.