Distancia entre el mínimo de dos funciones fuertemente convexas y el mínimo de su suma

Question

Sea $f$ y $g$ sean dos funciones fuertemente convexas de un conjunto convexo $\mathcal{X}$ à $\mathbb{R}$ con un mínimo de $x$ y $y$ respectivamente. Denotemos por $z$ el mínimo de $f+g$ y por $\delta$ la distancia $\lVert x-y\rVert$ .

Me gustaría saber si es posible demostrar que $\lVert x-z\rVert \leq \delta$ y $\lVert y-z\rVert < \delta$ .

Rk:

• Esta afirmación es cierta en una dimensión (véase aquí )

• Esta afirmación también es cierta cuando $f$ y $g$ son dos funciones cuadráticas.

Answer 1

Este resultado es cierto al menos para cualquier $p$ -normas con $p\geq 1$ . De hecho, sabemos que el resultado es cierto en una dimensión (véase aquí ). Por tanto, el resultado sigue siendo cierto si lo aplicamos a cada una de las coordenadas de las funciones $f$ y $g$ .

En particular, obtenemos: $$ \forall 1 \leq i \leq n,\ \min(x_i, y_i) \leq z_i \leq \max(x_i, y_i) $$

Esto demuestra que $$ \lVert x-z \rVert_p = \left(\sum_{i=1}^n (x_i-z_i)^p\right)^{1/p} \leq \left(\sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^p\right)^{1/p} = \lVert x_i - y_i \rVert_p =\delta $$ Por simetría, el mismo resultado es válido para $y$ : $\lVert y-z \rVert_p \leq \delta$ .