Prueba geométrica de la invariancia rotacional del laplaciano

Question

Sólo busco una prueba más intuitiva de que el $\nabla^2$ es rotacionalmente invariante en el espacio euclidiano. Es decir: Si $u(x)$ resuelve $\nabla ^2 u=0$ entonces $v(x)=u(Rx)$ también lo resuelve, donde $R$ es la matriz de rotación habitual ( $RR^T=Id$ ). Aquí $x\in \mathbb R^n$ .

Pude probarlo usando gimnasia de índices de fuerza bruta, pero estoy seguro de que hay algo más bonito por ahí.

Answer 1

Para ampliar el comentario de Daniel Fischer, las soluciones de la ecuación $\nabla^2u=0$ son precisamente las funciones integrables $u$ satisfaciendo $$u(x)=\frac{1}{V(B(x,r))}\int_{B(x,r)} u(y)dy$$ para cualquier $x$ y cualquier $r>0$ donde $B(x,r)$ es la bola de radio $r$ en torno a $x$ y $V$ indica volumen. Sea $R$ sea una rotación alrededor de $0$ . Entonces tenemos $$\begin{align*} u(Rx) &=\frac{1}{V(B(Rx,r))}\int_{B(Rx,r)} u(y)dy\;\; \text{because $u$ satisfies MVP}\\ &=\frac{1}{V(B(Rx,r))}\int_{RB(x,r)} u(y)dy\;\; \text{because}\; RB(x,r)=B(Rx,r)\\ &=\frac{1}{V(B(Rx,r))}\int_{B(x,r)} u(Ry)dy \end{align*}$$ como desee.

Answer 2

Trata la rotación como una función: $v(x) = (u \circ R)(x)$ . A continuación, utilice la regla de la cadena. Sea $a$ sea un vector arbitrario. La regla de la cadena es entonces:

$$a \cdot \nabla v|_x = [(a \cdot \nabla) R(x)] \cdot \nabla u|_{R(x)}$$

$R$ es una función lineal, y como tal $(a \cdot \nabla) R(x) = R(a)$ . Para abreviar, dejemos que $R(x) = x'$ y obtenemos

$$a \cdot \nabla v|_x = R(a) \cdot \nabla u|_{x'} \implies \nabla (u \circ R)|_x = R^T(\nabla u)|_{x'}$$

(Quizá piense: "¿Qué significa que una matriz de rotación actúe sobre $\nabla$ ? Pues basta con tratar las derivadas parciales como si fueran componentes de un vector).

Una lógica similar demostraría que, para un campo vectorial $F$ ,

$$\nabla \cdot (F \circ R)|_x = R^T(\nabla) \cdot F |_{x'}$$

Así que el Laplaciano tomaría la forma

$$\nabla^2 (u \circ R)|_x = R^T(\nabla) \cdot R^T( \nabla) u|_{x'}$$

Pero el lado derecho se reduce a $R^T R(\nabla) \cdot \nabla u|_{x'}$ y sabemos que $R^T R = 1$ dejándonos con $\nabla^2 u|_{x'} = \nabla^2 v |_x$ . Si $\nabla^2 u = 0$ en todas partes, entonces $\nabla^2 v = 0$ también en todas partes.