¿Por qué $\text{Hom}(V,W)$ lo mismo que $V^* \otimes W$ ?

Question

Tengo un par de preguntas sobre los productos tensoriales:

¿Por qué $\text{Hom}(V,W)$ lo mismo que $V^* \otimes W$ ?

¿Por qué un elemento de $V^{*\otimes m}\otimes V^{\otimes n}$ lo mismo que un mapa multilineal $V^m \to V^{\otimes n}$ ?

¿Cuál es la formulación general de este principio?

Answer 1

El resultado es generalmente erróneo para espacios de dimensión infinita: véase esta pregunta .

Para un espacio de dimensión finita $V$ construyamos un isomorfismo $f : V^* \otimes W \to \hom(V,W)$ definiendo

$$f(\phi \otimes w)(v) = \phi(v) w$$

Esto define claramente un mapa lineal $V^* \otimes W \to \hom(V,W)$ (es bilineal en $V^* \times W$ ). Recíprocamente, tomar una base $(e_i)$ de $V$ defina $g : \hom(V,W) \to V^* \otimes W$ por:

$$g(u) = \sum_i e_i^* \otimes u(e_i)$$

Dónde $(e_i^*)$ es la base dual de $(e_i)$ (Utilizaré algunas de sus propiedades en $\color{red}{red}$ más abajo). Esto está bien definido porque $V$ es de dimensión finita (la suma es finita). Comprobemos que $f$ y $g$ son inversos entre sí:

• Para $u : V \to W$ , $$f(g(u))(v) = \sum e_i^*(v) u(e_i) = u \left( \sum e_i^*(v) e_i \right) \color{red}{=} u(v)$$ y así $f(g(u)) = u$ .

• Para $\phi \otimes w \in V^* \otimes W$ , $$g(f(\phi \otimes w)) = \sum e_i^* \otimes f(\phi \otimes w)(e_i) = \sum e_i^* \otimes \phi(e_i) w = \sum \phi(e_i) e_i^* \otimes w \color{red}{=} \phi \otimes w$$

Y así $f$ y $g$ son isomorfismos, inversos entre sí.

---

Se sabe que para dimensiones finitas $V$ entonces $(V^*)^{\otimes m} = (V^{\otimes m})^*$ . Entonces un elemento de $V^{* \otimes m} \otimes V^{\otimes n}$ es un elemento de $(V^{\otimes m})^* \otimes V^{\otimes n} = \hom(V^{\otimes m}, V^{\otimes n})$ . Así que por definición / propiedad universal del producto tensorial, es un mapa multilineal $V^m \to V^{\otimes n}$ .

Answer 2

Una forma general de esa afirmación (teniendo en cuenta que no puede ser tan simple como cabría imaginar) es la adjunción Cartan-Eilenberg $$ \mathrm{Hom}(X\otimes Y,Z)\;\approx\;\mathrm{Hom}(X,\mathrm{Hom}(Y,Z)) $$ en alguna categoría aditiva razonable (o lo que sea), donde, significativamente, el producto tensorial debe ser un genuino producto tensorial categórico, a diferencia de un producto tensorial "proyectivo" o "inyectivo", que sólo tienen la mitad de las propiedades de un producto tensorial genuino. Así, por ejemplo, existe no producto tensorial genuino de espacios de Hilbert (de dimensión infinita) en cualquier categoría razonable de espacios vectoriales topológicos. (El llamado "producto tensorial del espacio de Hilbert" sólo tiene la mitad de las propiedades necesarias.

Answer 3

Bueno, el resultado real es $V^*\otimes W\cong \{\varphi\in \mathcal{L}(V,W):\dim \text{range }\varphi<\infty\}$ a través del mapa canónico $\Phi: \varphi\otimes w\mapsto (v\mapsto \varphi(v)w)$ como se indica en la respuesta anterior (nótese que se trata siempre de una incrustación de $V^*\otimes W$ en $\mathcal{L}(V,W)$ ).

Por un lado, cada elemento de $V^*\otimes W$ puede escribirse como $\sum^{n}_{i=1} \varphi_i\otimes w_i$ y su imagen bajo $\Phi$ se incluye en $\mathrm{span}(w_1,\cdots,w_n)$ en cambio, si $\dim \text{range }\varphi<\infty$ elige una base $w_1,\cdots,w_n$ de $\text{range }\varphi$ entonces $\varphi = \sum^{n}_{i=1} \varphi_iw_i$ para $\varphi_i\in V^*$ y $\sum^{n}_{i=1} \varphi_i\otimes w_i$ es una preimagen de $\varphi$ .