Series de Fourier - Entender una igualdad

Question

¿Por qué es cierta esta igualdad? $$\left\langle {f,g} \right\rangle = \sum\limits_{n = - N}^N {\hat{f}(n)\hat{g}(n)}$$

donde $$f = \sum_{n=-N}^N c_n e^{int}, g=\sum_{n=-N}^N d_n e^{int} $$

y $\hat{f},\hat{g}$ son los coeficientes de Fourier

Answer 1

Suponiendo que $\langle f,g\rangle$ se define como $(2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}f(x)\overline{g(x)}\mathrm dx$ la fórmula deseada se deduce del hecho de que $\langle e_n,e_n\rangle=1$ y $\langle e_n,e_m\rangle=0$ si $n\neq m$ (donde $e_n(x):=e^{inx}$ ).