Uso de épsilon y delta para calcular una derivada

Question

Sea $a>1$ , dejemos que $x\in\mathbb{Q}$ y defina $f(x)=x^a$ . Me interesa la informática $f'(0)$ si existe. Afirmo que $f'(0)=0$ .

Intento: Sea $\epsilon > 0$ . Supongamos que $0 < \lvert x-0 \rvert$ = $\lvert x \rvert$ < $\delta$ . Considere $$\left\lvert \frac{f(x)-f(0)}{x-0}-L \right\rvert = \left\lvert \frac{x^a-0^a}{x-0}-0 \right\rvert = \left\lvert \frac{x^a}{x} \right\rvert = \left\lvert x^{a-1} \right\rvert$$ Mi idea inicial era dejar que $\delta$ := min{1, $\epsilon$ } de modo que $$\left\lvert x^{a-1} \right\rvert \leq \lvert x \rvert < \delta \leq \epsilon$$ sin embargo creo que esto falla si $1<a<2$ . ¿Hay alguna forma de definir $\delta$ que evita tener que preocuparse por el valor de $a$ o ¿debo dividir el problema en casos?

Answer 1

Como x pertenece al conjunto de los números racionales, se puede demostrar rigurosamente que f(x) no es continua en x = 0, y por tanto f'(0) no existe.