Deducción de una expansión de Taylor en un punto arbitrario a partir de un polinomio de MacLauren

Question

Tengo una función $f(x,y)=-2x^3 + 4y^3 +4xy+4x$ y necesito encontrar una expansión de Taylor, alrededor del punto $(-4,1)$ de esta función.

Dado que la función es en realidad un polinomio, sé que esta representación es también su expansión de Taylor, pero alrededor de $(0,0)$ . ¿Hay alguna manera de calcular la serie de Taylor alrededor de $(-4,1)$ sin tener que calcular todas las derivadas? (es decir - sólo utilizando la forma conocida de la función )

Espero haber sido claro

Gracias de antemano

Answer 1

El cambio de coordenadas $x=X-4, y=Y+1$ debería funcionar. Expande el polinomio en $X, Y$ y volver a las coordenadas originales.

Answer 2

Tenga en cuenta que

$$x^3=(x+4)^3-12x^2-48x-64 \tag 1$$

$$xy=(x+4)(y-1)-4y+(x+4)\tag 2$$

$$x^2=(x+4)^2-8x-16 \tag 3$$

$$x=(x+4)-4\tag 4$$

Utilizando $(1)$ , $(3)$ y $(4)$ da

$$x^3=(x+4)^3-12(x+4)^2+48(x+4)-64 $$

$$x^2=(x+4)^2-8(x+4)+16$$

Utilizando $(2)$ y $(4)$ da

$$xy=(x+4)(y-1)+(x+4)-4(y-1)-4$$

Combine los términos y lo tendrá.