¿Cuál es el intervalo de W(A)

Question

Sea A sea la siguiente matriz: \begin{equation*} A= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \end{equation*} Si el conjunto W (A) se define por:

W ( A ) = { ( A u|u) : u $\mathbb{R^2}$ |u|| = 1 } donde ( A u|u) es el producto punto.

El conjunto W ( A ) está en un intervalo. Halla ese intervalo.

He encontrado los valores propios de A pero no sé cómo continuar a partir de ahí

Answer 1

Esquema de la solución: Sea $Q$ denota la matriz ortogonal cuyas columnas son los vectores propios de $A$ . Tenga en cuenta que $D = Q^TAQ$ es diagonal; además, diremos que $$ D = \pmatrix{\lambda_1 & 0\\0 & \lambda_2}. $$ Demuestra que $(Au|u) = (D(Q^Tu)|Q^Tu)$ . A partir de aquí, concluye que $W(A) = W(D)$ . Para encontrar $W(D)$ , exprés $(Du|u)$ en términos de $\lambda_1,\lambda_2$ y las entradas de $u$ .

Answer 2

Desde $A$ es real y simétrica, se puede diagonalizar ortogonalmente por el teorema espectral: $A=PDP^T$ donde $PP^T=I,D=\text{diag}(\lambda_1,\lambda_2).$

Convénzase de que para cualquier vector unitario $u$ tenemos $\|P^Tu\|^2=(P^Tu)^T(P^Tu)=1.$

Entonces convéncete $(Au|u)=u^TAu=\sum_i \lambda_i (P^Tu)_i^2\in [\lambda_{\text{min}}\|P^Tu\|^2,\lambda_{\text{max}}\|P^Tu\|^2]=[\lambda_{\text{min}},\lambda_{\text{max}}].$