familias incontables de conjuntos medibles, en particular bolas

Question

La unión de más de $\aleph_0$ Obviamente, los conjuntos medibles no tienen por qué ser medibles.

¿Qué pasa con las bolas en $\mathbb{R}^n$ ? - ¿es posible encontrar una familia incontable de bolas (con interiores no vacíos) tal que su unión no sea mensurable?

Answer 1

La respuesta de David Ullrich es incorrecta, porque $E$ es un conjunto nulo con respecto al $2-D$ Medida de Lebesgue.

La afirmación es cierta al menos para $d=2$ para lo cual proporcionaré una prueba. Primero necesitamos algunos resultados. La afirmación es la siguiente:

Afirmación: La unión arbitraria de discos cerrados no necesita ser Borel, pero es medible.

Voy a enunciar, y no demostrar, un resultado que caracteriza la mensurabilidad de Lebesgue y que utilizamos a menudo en mi clase.

Teorema: Un conjunto $A$ es medible por Lebesgue en $\mathbb{R}^d$ si y sólo si casi todos los puntos de $A$ es un punto de densidad, y casi todos los puntos de $A^c$ tiene $0$ densidad en $A$ .

Denotamos la densidad de $x$ en $A$ por $d(x,A) = \displaystyle \lim_{r \to 0} \frac{m(B_r(x) \cap A)}{m(B_r(x))}.$

$\textbf{Lemma 1.}\textit{ The Borel sets have the Cardinality of the Continuum.}$

$\textit{Proof.}$ Llama al Borel $\sigma-$ álgebra $B$ . En primer lugar, sabemos que $\textbf{c}\le |B|$ ya que no existe un infinito contable $\sigma-$ álgebra. Ahora bien, puesto que $\{B_r(q)| q \in \mathbb{Q}^2, r \in \mathbb{Q}\}$ forma una base contable para los conjuntos abiertos en $\mathbb{R}^2$ conocemos todos los conjuntos abiertos de $\mathbb{R}$ puede escribirse como una unión contable de ellas. Podemos crear una suryección a partir de $2^\mathbb{N}$ asignando secuencias a conjuntos abiertos en función de si incluyen o no uno de los contablemente muchos $B_r(q)$ en los sindicatos que las componen. Evidentemente, esto no es una inyección, ya que no tenemos disjointness. En cualquier caso, esto dice $\textbf{c} = |2^\mathbb{N}| \ge |B|$ ya que la cardinalidad de los conjuntos de Borel es la de los conjuntos abiertos (los conjuntos de Borel se forman a partir de uniones y complementos contables de conjuntos abiertos, no cambiando la cardinalidad). Así pues, la cardinalidad de los conjuntos de Borel es $\textbf{c}$ .

$\textbf{Lemma 2.} \textit{ There are more than Continuum many sets which can be written as the uncountable union of discs.}$

$\textit{Proof.}$ Para un conjunto determinado $A \in \mathbb{R}^2$ , mapea cada $x\in A$ al disco de radio $1$ centrado en $A$ . Entonces se trata de una inyección del conjunto de potencias de $\mathbb{R}^2, \mathcal{P}(\mathbb{R}^2)$ a los conjuntos de uniones de discos. $

$\textbf{Proposition.}\textit{ If we can prove this problem for discs of radii bounded below, then we are done.}$

$\textit{Proof.}$ Esto se debe a que si dejamos que $F_n$ sea el conjunto de discos de radios $\ge 1/n$ en nuestra unión $\displaystyle \bigcup_{i \in I}D_i$ entonces si probamos $F_n$ es medible, $\displaystyle \bigcup_{i \in I}D_i = \bigcup_{n \in \mathbb{N}}F_n$ es la unión contable de conjuntos medibles.

A partir de los lemas 1 y 2, sabemos que $\displaystyle \bigcup_{i \in I}D_i$ no tiene por qué ser Borel. Por supuesto, nuestra unión es incontable, de lo contrario tendríamos trivialmente un conjunto Borel y, por tanto, medible. A partir de la proposición, basta con considerar los radios limitados a continuación por $1$ . Por lo tanto, establece $X = \displaystyle \bigcup_{i \in I}D_i$ y que $Y = \displaystyle \bigcup_{i \in I}D_i^o$ . Entonces $\overline{Y}\setminus Y \supset X \setminus Y$ . Nuestro objetivo es mostrar $\overline{Y}\setminus Y$ es de medida cero, y por tanto también lo es $X \setminus Y$ . Por lo tanto, tome $x \in \overline{Y} \setminus Y$ . Por tanto, un punto límite, pero no un punto interior de ningún disco. Entonces, para distancias arbitrariamente pequeñas, existe un $D_i$ de tal forma que casi la mitad de $B_r(x)$ está en $D_i$ para un valor de $r$ . Es decir, para cada $r$ como $r\to 0$ hay un $D_i$ tal que $x$ está muy cerca del límite de $D_i$ y que $D_i$ ocupa casi la mitad de $B_r(x)$ . Desde el $D_i$ son todos de un cierto tamaño, no se vuelven degeneradamente pequeños. Como los círculos son lisos $1-$ colectores, localmente parecen $\mathbb{R}$ . Por lo tanto $r$ se hace muy pequeño y $D_i$ se acerca mucho a $x$ el límite de $D_i$ es como una línea recta. De ahí se ve que podemos encajar una pequeña bola de, digamos, radio $r/10$ (no tiene por qué ser óptima) en la parte de $B_r(x)$ que está en $D_i$ . Pero entonces $d(x, \overline{Y}\setminus Y) < \displaystyle \frac{\pi r^2 - \pi(r/10)^2}{\pi r^2} = \frac{99}{100} <1$ . Y así $x$ no es un punto de densidad. Pero como $x$ era arbitraria, esto dice $\overline{Y}\setminus Y$ no tiene puntos de densidad y, por tanto, su medida es cero. Ahora hemos terminado.

Nota: El mismo resultado es válido para los cuadrados y otros poliedros. Las bolas caben dentro de los cuadrados y otros poliedros, y no había nada especialmente importante sobre los círculos en nuestro argumento anterior.

Answer 2

Pensé que la respuesta era sí en $\Bbb R^d$ para $d>1$ no para $d=1$ .

David Bowman señaló un error en la prueba de $d=2$ a continuación - lo dejo aquí como ejercicio. A ver si eres capaz de detectar el error:

Equivocado ejemplo en $\Bbb R^2$ : Diga $E\subset\Bbb R$ no se puede medir. Consulte $\Bbb R$ como subconjunto de $\Bbb C$ de la forma habitual. Para cada $x\in E$ deje $$B_x=\overline{D(x+i,1)},$$ así en particular $B_x\cap\Bbb R=\{x\}$ .

Entonces $\bigcup_{x\in E}B_x$ no puede medirse, porque $$E=\Bbb R\cap \bigcup_{x\in E}B_x$$ no se puede medir.

Eso está mal: si te rindes, aquí tienes por qué:

No hay contradicción en mostrar $E$ ¡se puede medir aquí! Como la medida de Lebesgue es completa cualquier subconjunto de $\Bbb R$ es medible, como un subconjunto de $\Bbb R^2$ .

---

Por otra parte, supongamos $E\subset\Bbb R$ es la unión de una familia de intervalos cerrados (¡no degenerados!). Digamos que $C$ es un componente conexo de $E$ . Si $x\in C$ entonces tenemos $x\in[a,b]\subset E$ con $b>a$ . Por lo tanto $[a,b]\subset C$ por lo que, en particular $C$ contiene un racional.

Así que $E$ es una unión contable de intervalos (abiertos, cerrados o semiabiertos), por lo que $E$ es medible. Borel, de hecho.