Deje $f$ sea una función tal que : $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ et $f^{-1}$ es la inversa composicional de $f$ busco la analiticidad de $f$ en $0$ Entonces mi pregunta es:
Pregunta: ¿Hay funciones satisfacer: $f'=f^{-1}$ con $f^{-1}$ es el inverso composicional de $f$ ?
Si $f'=f^{-1}$ y $f(x) = ax^b$ , entonces $f'(x) = ab x^{b-1}$ y $f^{(-1)}(x) =(x/a)^{1/b} $ así que $(x/a)^{1/b} =ab x^{b-1} $ . Si $b \ne 0$ , entonces, elevando al $b$ poder, $x/a =(ab)^b x^{b(b-1)} $ o $a^{-b-1}b^{-b} = x^{b(b-1)-1} $ .
Para el lado derecho sea constante, debemos tener $0 =b(b-1)-1 =b^2-b-1 $ así que $b =\dfrac{1\pm \sqrt{1+4}}{2} =\dfrac{1\pm \sqrt{5}}{2} $ y $a^{-b-1}b^{-b} = 1 $ o $a^{-b-1} = b^b $ o, ya que $b+1 = b^2$ , $a =b^{\frac{b}{-b-1}} =b^{\frac{b}{-b^2}} =b^{\frac{-1}{b}} $ .
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