Sea ${\bf \tilde{x}}_1, {\bf \tilde{x}}_2, \ldots$ sea una secuencia estocástica (posiblemente no estacionaria) de $d$ -vectores aleatorios tridimensionales que convergen en distribución. ¿Se deduce inmediatamente que la secuencia estocástica $[{\bf \tilde{x}}_1, {\bf \tilde{x}}_2], [{\bf \tilde{x}}_3, {\bf \tilde{x}}_4], \ldots$ ¿también converge en la distribución? ¿Por qué sí o por qué no? En términos más generales, si ${\bf \tilde{x}}_1, {\bf \tilde{x}}_2, \ldots$ converge en la distribución, ¿se deduce entonces que ${\bf \tilde{x}}_{t+1}, {\bf \tilde{x}}_{t+2}, \ldots, {\bf \tilde{x}}_{t+m}$ converge en la distribución como $t \rightarrow \infty$ para un número entero positivo fijo $m$ donde $m > 2$ ? Mi interés en este problema es que si tengo un algoritmo que está generando una secuencia estocástica no estacionaria que converge en distribución a un vector aleatorio quiero evaluar la convergencia examinando la función de autocorrelación que asume estacionariedad débil. Mi interpretación del comportamiento asintótico de la secuencia estocástica sería más fuerte si a priori supiera que la cola de la secuencia estocástica generada es asintóticamente estacionaria en sentido fuerte.
Respuesta
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No.
He aquí un contraejemplo para ayudarle a desarrollar cierta intuición. Se trata de una secuencia de idénticamente variables distribuidas con una Bernoulli común $(1/2)$ distribución. Se define dejando que $(X_{4i+1}, X_{4i+2}, X_{4i+3}, X_{4i+4})$ igual $(0,0,0,1)$ con probabilidad $1/2$ y en caso contrario dejar que sea igual a $(1,1,1,0)$ con probabilidad $1/2$ para $i=1,2,3,\ldots.$
Las variables $(X_{4i+1}, X_{4i+2})$ son siempre iguales, mientras que las variables $(X_{4i+3}, X_{4i+4})$ siempre difieren.
La secuencia $(X_{2j+1}, X_{2j+2})$ tiene dos subsecuencias convergentes, pero convergen a distribuciones bivariantes distintas, lo que demuestra que esta secuencia de variables aleatorias bivariantes no converge en distribución.
No debería ser difícil generalizar este contraejemplo a bloques de longitud $m$ dentro de la secuencia original de variables aleatorias.
