En integrales relacionadas con $\int^{+\infty}_{-\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$

Question

Se le dan los resultados que $$\int^{+\infty}_{-\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$$

una. Use este resultado para encontrar $$\int^{+\infty}_{-\infty} e^{-ax^2} dx$$ b. El uso de los resultados anteriores para encontrar $$\int^{+\infty}_{-\infty} x^2e^{-ax^2} dx$$ [Sugerencia: Considere La Posibilidad De $\frac{d}{d\alpha} \int^{+\infty}_{-\infty}e^{-ax^2}dx$]

c. El uso de los resultados anteriores para demostrar que $$P(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4 \pi D t}} \exp \left( -\frac{x^2}{4Dt}\right) $$ es una distribución normal.

(Nota: aún estoy aprendiendo - este problema es un poco avanzado para mi nivel, así que si alguien podría escribir una explícita y completa de la solución, que sería el más útil respuesta para mí.)

A partir de ahora, @matt ha conseguido, me ayudaron a comprender las soluciones de (a) y (b) en su respuesta a continuación; pero aún me falta para tener la solución para (c) me explicó. No entiendo lo que se necesita hacer. para (c).

Answer 1

una. Podemos hacer la sustitución $t=\sqrt{a}x$, $a>0$, por lo tanto: $$ \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-ax^2}dx =\lim_{\substack{n\rightarrow\infty\\m\rightarrow\infty}}\int_{-n}^{+m}e^{-ax^2}dx =\lim_{\substack{n\rightarrow\infty\\m\rightarrow\infty}}\int_{-n\sqrt{a}}^{+m\sqrt{a}}e^{-t^2}\frac{dt}{\sqrt{a}} =\frac1{\sqrt{a}}\int^{+\infty}_{-\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} $$

b. Podemos diferenciar nuestro resultado de la parte (a) con respecto a $a$. $$ \frac{d}{da} \int^{+\infty}_{-\infty}e^{-ax^2}dx = \frac{d}{da}\left(\sqrt{\frac{\pi}{a}}\right) \quad\Rightarrow\quad \int^{+\infty}_{-\infty}\frac{d}{da}e^{-ax^2}dx = \frac{d}{da}\left(\sqrt{\frac{\pi}{a}}\right) $$

Tenga en cuenta que moviendo $\frac{d}{da}$ dentro de la integral es justificada, ya que tanto $e^{-ax^2}$ $\frac{d}{da}(e^{-ax^2})$ son continuas.

Simplificando, se obtiene: $$ -\int_{-\infty}^{+\infty}x^2e^{-ax^2}dx = -\frac{\sqrt{\pi}}{2a^{3/2}} \quad\Rightarrow\quad \int_{-\infty}^{+\infty}x^2e^{-ax^2}dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2a^{3/2}} $$

c. Debemos demostrar que: (1) $P(x,t)$ es no negativo; y (2) $\int P(x,t)=1$. Establecemos (1) señalando que, a $\exp(-x^2/4DT)\geq 0$ todos los $x\in\mathbb{R}$. Para establecer (2), observar el siguiente resultado que se desprende de la parte (a) (establecer $a=1/(4Dt)$): $$ \int_{-\infty}^{+\infty}P(x,t)\;dx =\frac{1}{\sqrt{4 \pi D t}} \int_{-\infty}^{+\infty} \exp \left( -\frac{x^2}{4Dt}\right)\;dx =\frac{1}{\sqrt{4 \pi D t}} \sqrt{\frac{\pi}{1/(4Dt)}} = 1 $$

EDIT: Añadido algunas aclaraciones para la parte (c).