Cómo resolver $2u_x(x,y)=u_{xy}(x,y)$

Question

Cómo resolver $2u_x(x,y)=u_{xy}(x,y)$ donde $(x,y)\in\mathbb R^2$

Primero integro w.r. a $x$ y obtenido;

$2(u(x,y)+f(y))=\partial_y(u(x,y)+f(y))$

$u(x,y)=\frac{u_y(x,y)+f'(y)}{2}-f(y)$

¿Cómo puedo proceder?

Answer 1

Lo primero que yo haría es dejar que $v= u_x$ de modo que la ecuación se convierte en $2v= v_y$ . Podemos pensar en ello como un ordinario ecuación diferencial, en y, con x como parámetro. Por supuesto, podemos resolverlo escribiéndolo como $\frac{dv}{dy}= 2v$ para que $\frac{dv}{v}= 2dy$ e integrando $ln(|v|)= 2y+ C$ . Resolución de v, $v= C'e^{2y}$ donde $C'= e^C$ pero sigue siendo una constante desconocida. Ahora, como estamos tratando la variable x como una constante, esa "constante", C, podría ser una función de x- Tenemos $v= u_x= f(x)e^{2y}$ . Integrando con respecto a x, tratando y como una constante, $u(x,y)= \left(\int f(x)dx\right)e^{2y}= F(x)e^{2y}$ donde, dado que f(x) es una función arbitraria (diferenciable) de f.

(Sí, igual que tenemos constantes arbitrarias en las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales ordinarias, podemos tener funciones arbitrarias en las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales parciales).