Diferencia entre $\mathcal F_\tau$ et $\sigma(\tau)$

Question

Supongamos que tenemos un espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ con una filtración $(\mathcal{F}_n)_{n \in \mathbb N}$ . Un tiempo de parada es una variable aleatoria $\tau$ tal que $$ \{\tau \leq n\} \in \mathcal F_n, \quad n \in \mathbb N. $$ Para un tiempo de parada determinado $\tau$ podemos definir un $\sigma$ -como $$ \mathcal{F}_\tau= \big\{A \in \mathcal F\mid A \cap \{\tau \leq n\} \in \mathcal F_n, \ n \in \mathbb{N} \big\}. $$

La interpretación habitual es que para $n \in \mathbb{N}, \ $ $\mathcal F_n$ contiene toda la información hasta el momento $n$ et $\mathcal F_\tau$ contiene toda la información hasta el momento $\tau$ .

Mi pregunta es: ¿cuál es el intuitivo diferencia entre $\mathcal F_\tau$ et $\sigma(\tau)$ es decir, el $\sigma$ -generada por $\tau$ . Por ejemplo, si $X=(X_n)_{n =\{0,\dots, N\}}$ denota una pila de jugadores y $\tau$ es una regla que el jugador utiliza para terminar el juego, ¿cuál es la diferencia entre $$ \mathbb{E}[X_N\mid \mathcal F_\tau ] \quad \text{and} \quad \mathbb{E}[X_N\mid \tau ]? $$ Gracias

Answer 1

Como tú dices, $\mathcal{F}_\tau$ contiene toda la información hasta el momento de la parada, mientras que $\sigma(\tau)$ sólo contiene información relevante para la parada.

Por ejemplo $X_1,X_2,\ldots,X_N$ iid con distribución continua, $\tau=\inf\{i:X_{i-1}>0,X_i>0\}\wedge N$ y $S_k=\sum_{i=1}^{k\wedge \tau}X_i$ . Es decir, un jugador juega la misma partida hasta que obtiene beneficios dos veces seguidas. Entonces el resultado total del juego, $S_N$ en realidad es igual a $S_\tau$ y así es $\mathcal{F}_\tau$ -medible. Sin embargo, dista mucho de $\sigma(\tau)$ -medible, de hecho conocer el valor de $\tau$ ni siquiera te dice el signo de $S_N$ es decir, si el jugador obtuvo beneficios o pérdidas totales (a menos que, por supuesto $\tau=2$ ).

Answer 2

Esta es sólo una explicación un poco más detallada que derivé de la respuesta de m7e. Pensé mucho en su respuesta y llegué a esta explicación que personalmente me gusta mucho:

• $\sigma(\tau)$ contiene toda la información sobre cuándo $\tau$ ha ocurrido
• $\mathcal F_\tau$ contiene toda la información sobre cuándo y cómo $\tau$ ha ocurrido.

Para tener un poco más de idea, consideremos esta ligera modificación del ejemplo de m7e: dejemos que $(X_n)_{n \in \{1,\dots,4\}}$ sea una secuencia iid tal que $\mathbb P(X_1=1)=\mathbb P(X_1=-1)= \frac 12$ y definir $S_n= \sum_{k=1}^n X_k$ . Intuitivamente, podemos pensar que se trata de un juego en el que en cada ronda se lanza una moneda al aire y yo gano o bien $1\$$ (si $X_n=1$ ) o perder $1\$$ (si $X_n=-1$ ). También defino un tiempo de parada $\tau$ como $$ \tau:= \inf \{n \geq 2\mid X_{n-1}=1 \ \text{and} \ X_n=1\} \wedge 5. $$ Siguiendo el tiempo de parada $\tau$ significa que dejo de jugar después de ganar dos veces seguidas o, como muy tarde, al final de la quinta ronda.

A continuación utilizaré la siguiente notación (sencilla pero descuidada), donde $W$ es la abreviatura de gana et $L$ es la abreviatura de perder : \begin{align} A_{WL}&= \{\omega \in \Omega \mid X_1(\omega)=1 \ \text{and} \ X_2(\omega)=-1 \}, \quad \text{or}\\ A_{LLW}&=\{\omega \in \Omega \mid X_1(\omega)=X_2(\omega)=-1 \ \text{and} \ X_3(\omega)=1 \}, \quad \text{etc} \end{align} .

Entonces el $\sigma$ -generada por $\tau$ está generado por los siguientes conjuntos: $$ \sigma(\tau)=\sigma \Bigl\{A_{WW}, \ A_{LWW},\ A_{WLWW}\cup A_{LLWW} \Bigr\}. $$ Aquí, es importante señalar que ninguno de los conjuntos $A_{WLWW}$ et $A_{LLWW}$ están contenidos en $\sigma(\tau)$ por su cuenta. Dicho de otro modo, dada la información contenida en $\sigma(\tau)$ Puedo distinguir entre los acontecimientos $\{\tau=2\}$ (que corresponde a $A_{WW}$ ), $\{\tau=3\}$ (que corresponde a $A_{LWW}$ ) y $\{\tau=4 \}$ (que corresponde a $A_{WLWW}\cup A_{LLWW}$ ) pero no puedo distinguir entre $A_{WLWW}$ et $A_{LLWW}.$

Esto significa que $\sigma(\tau)$ me dice cuándo dejé de jugar, pero no la historia del juego que me ha llevado a dejar de jugar. En concreto, si sé que paré después de cuatro rondas, no sé qué ocurrió en las dos primeras.

En resumen $\sigma(\tau)$ contiene toda la información sobre cuando $\tau$ ha ocurrido pero no sobre cómo $\tau$ ha ocurrido.

Por otro lado, $\mathcal F_\tau$ contiene los siguientes conjuntos: $$ \mathcal F_\tau=\sigma \Bigl\{A_{WW}, \ A_{LWW},\ A_{WLWW}, A_{LLWW} \Bigr\}. $$ que permite diferenciar entre $A_{WLWW}$ et $A_{LLWW}$ . Así que dada la información contenida en $\mathcal F_\tau$ y sé cuándo dejé de jugar y además la historia hasta la detención del juego.