¿Tiene una categoría de módulos en un topos elemental suficientes injetivos?

Question

Sea $R$ sea un objeto anillo en un topos elemental $X$ . ¿La categoría de $R$ -módulos en $X$ ¿poseer suficientes injectivos? Si $R$ es un topos de Grothendieck, esto es un hecho bien conocido, y es evidente en cualquier otro ejemplo que se me ocurra, por ejemplo, el topos de gavillas de conjuntos finitos sobre un sitio finito. La categoría de $R$ -no forma una categoría de Grothendieck en este caso, ya que carece de sumas directas arbitrariamente grandes.

Edición: como advertencia importante a señalar, la categoría de grupos abelianos en $X$ hace no tienen suficientes injectivos. Por ejemplo, en el caso $X$ es el topos de conjuntos finitos, la categoría de grupos abelianos finitos no tiene suficientes injectivos. Si la afirmación original es cierta, es fundamental que estructuremos sobre un anillo interno a $X$ .

Answer 1

No. Por ejemplo, Andreas Blass demostró en

Blass, Andreas , Inyectividad, proyectividad y el axioma de elección Trans. Am. Math. Soc. 255, 31-59 (1979). ZBL0426.03053 .

que existen modelos de ZF en los que ningún grupo abeliano no trivial es inyectivo, y tal modelo es entonces un topos elemental con un anillo $\mathbb{Z}$ cuyos módulos no tienen suficientes injetivos.

(Esto es suponiendo que ZF es consistente, por supuesto, pero puedes eliminar esa suposición si todo lo que buscas es un topos elemental, ya que para eso sólo necesitas un modelo de un fragmento suficientemente grande de ZF, y eso se puede construir sólo en ZF usando el principio de reflexión).