Llenando al menos $1$ caja con una bola blanca de $1$ a $n$ cajas numeradas

Question

Dado $n$ cajas numeradas $1$ a $n$ cada casilla se llenará con una bola blanca o una bola azul de forma que al menos una caja contenga una bola blanca y las cajas que contengan bolas blancas estén numeradas consecutivamente. consecutivamente. ¿Cuál es el número total de formas en que se puede hacer esto?

Solución aportada:

La tarea es similar a elegir dos de los $n + 1$ cruces para marcar el inicio y final de las casillas numeradas consecutivamente que contienen bolas blancas. Esto es ${n+1 \choose 2}$ que es igual a $\frac{n(n + 1)}{2}$ .

Mi pregunta:

Entiendo que la imagen muestra $n$ cajas porque podemos tener $1$ a $n$ bolas blancas.
Tengo la sensación de que están utilizando el $r$ -fórmula de combinación aquí: ${r + n -1 \choose r}$ .

Eso es todo lo que entiendo. No tengo ni idea de por qué tienen $n+1$ cruces o por qué eligen sólo $2$ de esas cruces o incluso lo que representan esas cruces?

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PS: Sé que hay suma de enfoque secuencial para esto, pero estoy obligado a proporcionar una combinatoria de trabajo.

Answer 1

Para hacer un $7$ -cadena de letras $$BBBBWWW$$ dado el $7$ ranuras $$ \square \square \square \square \square \square \square $$ separe primero las casillas en las que $W$ deben colocarse así $$ \square \square \square \square \times \square \square \square \times $$ y luego colocar las W en cuadrados entre cruces (y las B en reposo).

En dos cruces, que marcan el Inicio y fin de subcadena de $W$ pueden colocarse en cualquier $n+1$ lugares de alrededor $n$ ranuras, por lo tanto $$ \binom{n+1}{2}$$

Answer 2

La pregunta requiere que una única cadena de casillas consecutivas contenga bolas blancas, mientras que todas las casillas restantes contienen bolas azules. Por ejemplo, si hay diez casillas, una situación posible que satisfaga las condiciones sería BBWWWWWBBB.

La solución proporcionada dice que podemos contar esto simplemente eligiendo la(s) primera(s) y última(s) casilla(s) que contienen las bolas blancas. En el ejemplo anterior, elegiríamos las casillas 3 y 7. Así, el número de formas de llenar las casillas sería equivalente al número de formas de elegir la primera y la última casilla.

Normalmente, eso sería $\binom{n}{2}$ . Sin embargo, en este caso, las condiciones permiten específicamente que sólo una casilla sea blanca, y esto no se tendría en cuenta con $\binom{n}{2}$ ya que la primera y la última casilla serían la misma. Por eso pusieron esas pequeñas x.

Ahora, para el ejemplo que he dado anteriormente, la configuración sería xBxBxWxWxWxWxWxBxBxBx; en lugar de elegir la primera y la última casilla, elijo la x antes de la primera casilla con una bola blanca y la x después de la última casilla con una bola blanca, es decir, la tercera y la octava x. Haciéndolo así, podemos elegir una única casilla que contenga una bola blanca, simplemente eligiendo las x justo antes y justo después de esa única casilla. Pero como siempre habrá una x más que casillas, el número de formas será ahora $\binom{n+1}{2}$ .

Tenga en cuenta que otra forma sencilla de evitar el problema de las casillas únicas sería simplemente sumar el número de formas de elegir una casilla única ( $n$ ) al anterior $\binom{n}{2}$ y obtener

$$ \binom{n}{2} + n = \frac{n^2-n}{2} + n = \frac{n^2+n}{2} = \binom{n+1}{2} $$