Aquí estoy viendo la prueba del teorema 2 a continuación 
Aquí tengo las siguientes dificultades: 1) En las dos últimas líneas, el exponente cambia de $\frac{n-1}{2}$ a $\frac{n-3}{2}$ ¿Por qué? ¿Puede alguien explicarlo? 2) Para demostrar (iii), es decir, comprobar que se cumple el C.I. Sigo las identidades del lema2 (ii) y (iii).(Ver imagen abajo) Pero parece que me he perdido y me he vuelto a equivocar en los cálculos. ¿Alguien me puede ayudar? 
El conjunto sobre el que se evalúa la integral también cambia. Aquí está usando coordenadas polares para que el cálculo funcione: $$ \int_{B(x,t)} f(y) dy = \int_0^t \int_{\partial B(x,s)} f(z) d\sigma(z) ds $$ donde $d\sigma$ es la medida de la superficie de la esfera. De ahí que el teorema fundamental del cálculo diga que $$ \frac{d}{dt} \int_{B(x,t)} f(y) dy = \int_{\partial B(x,t)} f(z) d\sigma(z). $$
En el libro se lleva una copia del operador $t^{-1} \frac{d}{dt}$ y aplicándolo como arriba, lo que entonces disminuye la potencia en uno y resulta en el término $$ \frac{1}{t} \int_{\partial B(x,t)} \Delta h . $$
En primer lugar, $$\left(\frac{1}{t}\frac{d}{dt}\right)^{\frac{n-1}{2}} = \left(\frac{1}{t}\frac{d}{dt}\right)^{\frac{n-3}{2}}\left(\frac{1}{t}\frac{d}{dt}\right)$$ Obsérvese entonces que la cantidad $\left(\frac{1}{t}\frac{d}{dt}\right)$ parece meterse en la integral. Por eso en la segunda línea en cuestión tienes un $\frac{1}{t}$ fuera de la integral. El infinitésimo también cambia de $dy$ a $dS$ junto con la región integral. Utilizando la fórmula $$\frac{d}{dt}\left(\int_{B(x_0,t)}f dx\right)=\int_{\partial B(x_0,t)} f dS$$ que usted mencionó como apareciendo en el apéndice pg. 628 de Evans, el resultado sigue.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
