Sea $E$ a $K$ -y denotemos $E^{**}$ su bidual. Sea $$\Phi: E\longrightarrow E^{**}$$ definido por $$\Phi(x)=\left<f,x\right>,\quad f\in E^*.$$ Un teorema de mi curso dice
$$\Phi\text{ is an isomorphism}\iff E\text{ has finite dimension}.$$
La implicación (es decir $\Rightarrow$ ) no es correcto, ¿no? Por ejemplo, si $p\in (1,\infty )$ tenemos que $L^p(\mathbb R)$ es reflexivo, lo que significa exactamente que $\Phi$ es biyectiva, ¿verdad? Así que tengo un problema con este teorema. Por otra parte, la prueba parece correcta :
El hecho de que $\Phi$ es inyectiva está bien. Demostramos el contrapositivo, es decir, suponemos que $E$ tiene dimensión infinita y demostramos que $\Phi$ no es suryectiva. Fo la subjetividad, dejemos que $F=\text{Span}(e_1^*,...,e_n^*)\neq E$ . Sé que existe una forma lineal no nula $f:E^*\to K$ s.t. $F\subset \ker(f)$ . Para todos $x=(x_i)_{i\in I}\in E$ , $$\Phi(x)(e_{i}^*)=x_i.$$ Por lo tanto, si $\Phi (x)(F)=0$ entonces $x=0$ y así $\Phi (x)=0$ . Por lo tanto, $f$ no está en el rango de $\Phi$ y por tanto no es suryectiva.
¿Qué le parece? Por cierto, no entiendo por qué $\Phi(x)(F)=0$ implica que $\Phi(x)=0$ ... De hecho, podemos tener $g\notin F$ s.t. $\Phi(x)(g)\neq 0$ ¿No?
