Resolver una pregunta de probabilidad binomial - ¿qué hay de malo en mi solución?

Question

Una empresa crea un fondo de $120$ de la que quiere pagar un importe, $C$ a cualquiera de sus $20$ empleados que alcancen un nivel de alto rendimiento durante el próximo año. cada empleado tiene un $2\%$ posibilidad de alcanzar un nivel de alto rendimiento durante el año siguiente, independientemente de cualquier otro empleado. Determine el valor máximo de $C$ cuya probabilidad es inferior a $1\%$ que el fondo será insuficiente para cubrir todos los pagos por alto rendimiento.

Opciones de elección múltiple: $24, 30, 40, 60, 120$ .

Mi intento:

Sea $X$ sea la RV que denota el número de empleados a los que hay que pagar el importe $C$ . $X \sim Bin(20, 0.02)$ . Tenemos que encontrar $P(X>120/C)<0.01$ .

Tenga en cuenta que $P(X= 0) = 0.667$ , $P(X= 1) = 0.272$ , $P(X= 2) = 0.052$ , $P(X= 3) = 0.006$ . Desde $P(X= 3)<0.01$ obtenemos $$3>\frac{120}{C} \implies C>40$$

Elegí la opción de $40$ Sin embargo, la respuesta correcta es $60$ . Ahora, como mi respuesta decía $C>40$ Debería haber elegido $60$ o $120$ pero sospecho que la solución tiene fallos importantes. ¿Puede alguien revisar mi solución y decirme en qué me he equivocado? Gracias.

Answer 1

El fondo será insuficiente si $X$ es "demasiado grande". Queremos limitar la probabilidad de que esto ocurra. Esto sugiere encontrar algún número entero $c$ tal que $$\Pr[X > c] < 0.01. \tag{1}$$ Desde $X \sim \operatorname{Binomial}(n = 20, p = 0.02)$ calculamos una tabla: $$\begin{array}{c|c|c|c} x & \Pr[X = x] & \Pr[X \le x] & \Pr[X > x] \\ \hline 0 & 0.667608 & 0.667608 & 0.332392 \\ 1 & 0.272493 & 0.940101 & 0.059899 \\ 2 & 0.0528303 & 0.992931 & 0.00706869 \\ 3 & 0.00646901 & 0.9994 & 0.000599679 \end{array}$$ La tercera columna se calcula sumando sucesivamente las entradas de la segunda columna, y la cuarta columna es $1$ menos la tercera columna. Observamos que el primer valor de $x$ para la cual la desigualdad deseada $(1)$ se cumple es $x = 2$ ; por lo tanto, este es nuestro valor de $c$ . Por lo tanto, la probabilidad de tener más de $2$ empleados de alto rendimiento es inferior a $0.01$ y si el premio es $C$ la empresa puede hacer $C = 60$ sin que la probabilidad de insuficiencia de fondos supere $0.01$ ya que la probabilidad de que haya tres o más empleados de alto rendimiento es menor que $0.01$ .

---

Su error está en concluir $c = 3$ en lugar de $c = 2$ . Pero hay un error más fundamental, y es que no calculaste acumulativo probabilidades. En su lugar, calculó individual probabilidades y se detuvo cuando $\Pr[X = c] < 0.01$ . Esto no es correcto, ya que la desigualdad $(1)$ explica más arriba.

Answer 2

De su $P(X= 0) = 0.668$ , $P(X= 1) = 0.272$ , $P(X= 2) = 0.053$ , $P(X= 3) = 0.006$ (con un redondeo ligeramente mejor)

puedes encontrar $P(X> 0) = 0.332$ , $P(X> 1) = 0.060$ , $P(X> 2) = 0.007$ , $P(X> 3) = 0.001$ .

Así que hay una probabilidad de menos de $1\%$ que hay más de $2$ de alto rendimiento, pero más de $1\%$ que hay algo más que $1$ de alto rendimiento,

y por lo tanto necesita el fondo de $120$ para poder pagar hasta a dos personas de alto rendimiento con un coste potencial de 1.000 millones de euros. $2C$ .

$2C \le 120$ implica $C \le 60$ .