sobre representaciones de un simple $C^*$ -álgebra

Question

Sabemos que cada $C^*$ -es primitiva, es decir, tiene una representación irreducible fiel distinta de cero. Lo contrario no es necesariamente cierto. Un contraejemplo es $B(H)$ cuando $H$ es de dimensión infinita.

Pero si toda representación irreducible de $C^*$ -álgebra $A$ es fiel, ya sea $A$ ¿es sencillo?

Gracias por toda la ayuda.

Answer 1

Sí. Lo que haces es demostrar que si $A$ no es simple, entonces hay un irrep. no fiel.

Si $J\subset A$ es un ideal no trivial, consideremos entonces una representación irreducible de $A/J$ en $B(H_J)$ Entonces $A\to A/J\to B(H_J)$ es una representación irreducible de $A$ con un núcleo que contenga al menos $J$ por lo que no es fiel.