Analógica de una parábola sobre una esfera?

Question

Parábola: el conjunto de puntos del plano que equidistan de una recta, llamada directriz, y un punto, llamado punto focal, no en la línea.

Supongamos que tratamos de replicar esto en una esfera: vamos a la directriz ser dado como un gran círculo en el $D$. Deje $C$ ser un gran círculo perpendicular a $D$. Deje $P$ ser nuestro punto focal, acostado en $C$ (pero no la mentira en la directriz $D$). Deja e ser un punto arbitrario en $D$, y deje $E$ ser el gran círculo que pasa por e, perpendicular a $D$. Deja un gran círculo a través de $P$ cumplir $E$ en el punto f tales que f es equidistancia de e y $P$. Por último, vamos a nuestro "parábola" se compone de todos los puntos equidistantes del punto focal $P$ y la directriz $D$ (medido a lo largo de las "líneas rectas" de grandes círculos).

Por lo que puedo decir, sólo hay dos posibilidades para la forma de esta "parábola": (1) $P$ recaerá en uno de los vértices del círculo (que es, uno de los dos puntos donde los grandes círculos perpendiculares a $D$ se cruzan), en cuyo caso la "parábola" será un pequeño círculo; de lo contrario, (2) $P$ se encuentran en algún otro punto a lo largo de $C$, en cuyo caso no estoy seguro acerca de la forma, aparte de que será simétrica con respecto al $C$ y ocupan un hemisferio (ya que se sitúan en su totalidad por encima de $D$).

¿Cuál será la forma de la curva bajo la condición (2)?

Answer 1

Podemos configurar esto con sólo un poco de álgebra y trigonometría. Deje $P$ ser el polo norte de la esfera $x^2+y^2+z^2=1$, también con parámetros con ángulo polar $\theta\in[0,\pi]$ (donde $\theta=0$ es el polo norte), radial y el ángulo de $\phi\in[0,2\pi)$. Los planos de $x=0$ $y\cos\alpha+z\sin\alpha=0$ son perpendiculares, por lo que la gran círculos $C$ $D$ formado por sus intersecciones con la esfera, también son perpendiculares. Queremos que el ángulo desde el polo norte para igual al ángulo a $D$. El ángulo de a $D$ $\frac\pi2$ menos que el ángulo de la perpendicular a $D$, y el coseno de este ángulo puede ser calculado por un producto escalar. El coseno de $\frac\pi2$ menos que el ángulo del polo norte, es fácil de calcular; esto es sólo $\sin\theta$. Por lo tanto queremos:

$$\sin\theta=(0,\cos\alpha,\sin\alpha)\cdot(\cos\phi\sin\theta,\sin\phi\sin\theta,\cos\theta)=\cos\alpha\sin\phi\sin\theta+\cos\theta$$

La solución de este rendimientos $\theta=\frac\pi2-\tan^{-1}(\csc\alpha-\sin\phi\cot\alpha),$, por lo que un paramétrica completa descripción de la "parábola" es esta ecuación sustituido en las $(x,y,z)=(\cos\phi\sin\theta,\sin\phi\sin\theta,\cos\theta)$.

La figura resultante es aproximadamente circular, excepto cerca de la $\alpha=0$, cuando se reduce a una elipse con focos en el polo y en la perpendicular a $D$. He aquí una animación para diferentes valores de $\alpha\in(0,\pi)$:

                                     

EDIT: Si proyectamos esta figura sobre el plano,$z=1$, podemos transformar $(\cos\phi\sin\theta,\sin\phi\sin\theta,\cos\theta)\mapsto(\cos\phi\tan\theta,\sin\phi\tan\theta,1)$, que es la ecuación de una figura en coordenadas polares dado por $r(\phi)=\tan\theta(\phi)$. Dado nuestro valor conocido de $\theta$, esto equivale a

$$r(\phi)=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha\sin\phi},$$

que es la ecuación de un plano) de la elipse. Así que esto realmente es la intersección de un cono elíptico con la esfera.

Answer 2

Podemos configurar el problema como un problema de álgebra.

Las líneas en el círculo son grandes círculos, podemos elegir nuestras coordenadas, de modo que la línea en cuestión es el ecuador, y el punto que tiene coordenadas $(0,a,b)$$a,b > 0$.

El punto más cercano de $(x,y,z)$ a que el ecuador se encuentra en la misma dirección radial de la $z$ eje: es decir, es $\left( \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}, 0 \right) $.

Por lo tanto, buscar la curva que, simultáneamente, se resuelve

$$ x^2 + (y-a)^2 + (z-b)^2 = \left(x - \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \right)^2 + \left( y - \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \right)^2 + z^2$$ $$ x^2 + y^2 + z^2 = 1$$