Derivación de las ecuaciones en un multiplicador de Lagrange

Question

Iba aunque este para hacerse una idea general de los multiplicadores de Lagrange. Uno de sus ejemplos era maximizar $xyz$ dado $xy+yz+zx= 32$ . Las primeras líneas de la solución eran las siguientes: $$ $$ Sea $\lambda$ sea el multiplicador de Lagrange de este sistema. Entonces, obtenemos las siguientes ecuaciones: $$yz= \lambda(y+z)$$ $$zx= \lambda(z+x)$$ $$xy= \lambda(x+y)$$ $$xy+yz+zx= 32$$ Creo que entiendo cómo los términos $x+y$ , $z+x$ y $y+z$ Ven: $$ \frac{\delta}{\delta x} (xy+yz+zx)= y+z$$
Del mismo modo podemos obtener los otros términos. Lo que no puedo obtener son los términos en el L.H.S. Mi pregunta es: ¿cómo obtenemos los términos $xy$ , $zx$ y $xy$ ?

Lo siento si esto es algo demasiado trivial, sólo soy un principiante en este campo :)

P.D Nótese que no necesitamos multiplicadores de Lagrange para resolver este problema. Sólo intento averiguar cómo aplicarlos. :)

Answer 1

Si $$L=xyz+\lambda(xy+yz+zx-32)$$ denota la función de Lagrange, entonces los puntos estacionarios de $L$ como soluciones del sistema $$\begin{cases} \dfrac{\partial{L}}{\partial{x}}=0, \\ \dfrac{\partial{L}}{\partial{y}}=0, \\ \dfrac{\partial{L}}{\partial{z}}=0, \\ \dfrac{\partial{L}}{\partial{\lambda}}=0. \\ \end{cases}$$