Varianza de un número aleatorio de ensayos Bernoulli

Question

Lanza un dado justo y deja $N$ sea el resultado. A continuación, lanza una moneda $N$ veces. Entonces, denotamos $S$ el número de cabezas obtenidas. ¿Cuál es la expectativa y la varianza de $S$ ?

He intentado definir la variable $S$ como $S = N*S_i$ donde $S_i$ es tirar $i$ .

Entonces, por independencia de $N$ y $S_i I$ obtuvo la expectativa de la siguiente manera: $E[S] = E[N]E[S_i] = 3.5 * 0.5 = 1.75$ .

Para la varianza también por independencia: $$Var[S] = (E[N]^2) * Var[S_i] + (E[S_i]^2) Var[N] + Var[S_i]Var[N] \\= (3.5^2) * 0.5(1-0.5) + (0.5^2) * (35/12) + (35/12) * 0.5(1-0.5) = 4 25/48.$$ Sin embargo, el modelo de solución dice que debe ser $77/48$ así que creo que estoy abordando el problema de la manera equivocada.

Answer 1

Sea $N$ sea el número del dado justo y $X$ el número de caras en un lanzamiento de la moneda. A continuación, $$E(S) = E(N)E(X) = (7/2)(1/2) = 7/4$$ como tú dices. Sin embargo, $$Var(S) = E(N)Var(X) + Var(N)[E(X)]^2 = 77/48,$$ como dice la clave de respuestas. Dejaré que completes los detalles de esta fórmula. [La variable aleatoria $S$ equivale a una binomial elegida al azar con $N$ ensayos y $p=1/2.$ ]

Una simulación de un millón de experimentos de este tipo empareja las respuestas correctas con dos o tres dígitos significativos.

set.seed(425)
s = replicate(10^6, rbinom(1,sample(1:6, 1), 1/2))
mean(s);  var(s)
## 1.748882  # aprx E(S) = 7/4 = 1.75
## 1.601607  # aprx Var(S) = 77/48 = 1.604167

A continuación se muestra un histograma de la distribución simulada de $S.$ Con $E(N) = 3.5,$ Se podría adivinar que esta distribución sería algo así como la de $\mathsf{Binom}(3, .5)$ con varianza 3/4 o $\mathsf{Binom}(4, .5)$ con varianza 1, pero resultados son mucho más variables debido a la variabilidad de $N.$ [Los puntos rojos muestran la distribución de $\mathsf{Binom}(4, .5)$ .]