Solución particular de $\sin^2(x)$

Question

Tengo la ecuación diferencial: $$y'' + y = \sin^2(x)$$ y para resolverlo necesito usar variación de parámetros y por lo tanto necesito encontrar la forma de la solución particular.

¿Cuál es tu manera de encontrar la forma de la solución?

Agradecería cualquier sugerencia al respecto.

Answer 1

A mi manera: Utilizar el hecho de que $\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ . Para el $-\frac{\cos(2x)}{2}$ parte, utilice $a\cos(2x)$ para $a$ . Y para el $\frac{1}{2}$ parte, utilice $\frac{1}{2}$ .

Answer 2

El lado derecho puede reducirse a la forma estándar: $\sin^2x=\dfrac{1-\cos 2x}2$ . $\cos 2x$ no es una solución de la ecuación homogénea, y sabemos que en tal caso hay una solución particular de la forma: $$A\sin 2x+B\cos 2x.$$

La forma más sencilla de calcularlo es utilizar el hecho de que $\cos 2x$ es la parte real de $\mathrm e^{2\mkern1mu\mathrm i x}$ . Así que primero se resuelve el lado derecho $=\mathrm e^{2\mkern1mu\mathrm i x}$ y luego tomar la parte real de la solución. Encontrarás $$y_0=\frac x2+\frac16\,\cos 2x.$$

Answer 3

Creo que ha mencionado que desea utilizar el método de "variación de parámetros". Así que la solución de la ecuación diferencial homogénea da las soluciones $y_1 =\cos x $ , $ y_2 =\sin x $ con ronskian $W(y_1,y_2) =1 $ . La solución particular viene dada por

$$ y_p = -y_1\int \frac{y_2 \sin^2(x) } {W(y_1,y_2)}+ y_2\int \frac{y_1 \sin^2(x) } {W(y_1,y_2)}$$

$$ = -\cos x\int { \sin x \sin^2(x) } + \sin x\int { \cos x \sin^2(x) } .$$

Debes terminar de evaluar las integrales anteriores.

Answer 4

Utilización de la técnica aquí : $$Y_p=y_h\int y_h^{-2} W_0 \left(\int y_h W_0^{-1} g \ dt\right) \ dt$$ donde $$W_{0}=\exp\left(-{\int p \ dt}\right).$$ Así que $W_{0}=\exp\left(-{\int 0 \ dt}\right)=1$ . Utilización de $y_h=\cos t$ facilitará la integral, por lo tanto: $$ \begin{aligned} Y_p&=\cos (t) \int \frac{1}{\cos^2(t)} \left(\int \cos (t) \sin^2(t) \ dt\right) \ dt \\ &=\cos (t) \int \frac{1}{\cos^2(t)} \frac{\sin^3(t)}{3}\ dt \\ &=\cos (t) \int \frac{\sin^3(t)}{3\cos^2(t)} \ dt \\ &=\cos (t) \int \frac{1-\cos^2(t)}{3\cos^2(t)} \sin(t)\ dt \\ &= \frac{\cos (t)}{3} \left(\int \frac{\sin (t)}{\cos^2(t)}\ dt-\int\sin(t)\ dt \right) \\ &=\frac{\cos (t)}{3}\left(\frac{1}{\cos(t)}+ \cos(t)\right) \\ &=\frac{1}{3}\left(1+ \cos^2(t)\right) \end{aligned} $$ Alternativamente, preferiría escribir la solución como $$Y_p=\frac{1}{3}\left(2- \sin^2(t)\right).$$

También se podría hallar la solución mediante la integral: $$ Y_p=\sin (t) \int \frac{1}{\sin^2(t)} \left(\int \sin^3(t) \ dt\right) \ dt. $$ Sin embargo, creo que este requiere un poco más de trabajo.