Dada la base de un triángulo y el cociente de las longitudes de los otros dos lados desiguales , demuestre que el vértice se encuentra en una circunferencia fija .

Question

¿Puede alguien explicarme cómo enfocar esta cuestión? No quiero que la solución

Answer 1

Podrías intentarlo analíticamente. Sea la base el segmento comprendido entre $P = (-1,0)$ a $Q = (1,0)$ . Escribe la ecuación del lugar geométrico de los puntos $Z$ tal que la distancia desde $Z$ a $P$ es $k$ veces la distancia desde $Z$ a $Q$ .

El locus cuando $k=1$ es un "círculo" interesante.

Answer 2

Pista: Sean los dos puntos fijos $A$ y $B$ y que $C$ sea uno de los posibles terceros vértices. Consideremos la intersección de las bisectrices de los ángulos interior/exterior de $\angle ACB$ con línea $AB$ .

Answer 3

Esquema: No es del todo cierto, si la proporción es $1$ entonces el lugar geométrico trazado por los vértices es una recta. Sea $k\ne 1$ sea una constante positiva.

Sin pérdida de generalidad podemos suponer que la base del triángulo es el segmento de recta que une $(-a,0)$ a $(a,0)$ .

Sea $(x,y)$ sea un punto arbitrario.

(i) Escribe la distancia desde $(x,y)$ a $(-a,0)$ .

(ii) Escribe la distancia desde $(x,y)$ a $(a,0)$ .

(iii) Escribe la ecuación que dice que el cociente entre ellas es $k$ .

(iv) Manipular.