¿Cuál es el más pequeño fragmento de ZFC que tiene la misma consistencia de la fuerza como ZFC?

Question

A la pregunta del título es, sin duda, no tiene sentido, pero no estoy seguro de cómo el estado esta pregunta correctamente. Tal vez algunos de los ejemplos que me ayudará a explicar.

Gracias a Gödel y Cohen, sabemos que ${\sf AC}$ es independiente de ${\sf ZF}$. Esto significa que podemos siéntase libre de tomar ${\sf AC}$, como un axioma, porque ${\sf ZF}\nvdash\neg{\sf AC}$, así como el ${\sf ZF}$ es consistente sabemos ${\sf ZFC}$ es consistente. En otras palabras, hemos reducido el problema de la prueba de ${\sf ZFC}$ es consistente a la misma pregunta de los más débiles de la teoría de la ${\sf ZF}$.

Mi pregunta es, tratando de averiguar cómo se puede llevar más lejos esta, ya sé que hay resultados que sugieren la independencia de la mayoría de los restantes axiomas de la ${\sf ZF}$. Aquí está mi proceso de pensamiento: Supongamos que quiero saber que mi teoría de la $T=A+B+C$ es consistente. Si yo conozco a $A+B\nvdash\neg C$, $T$ es consistente si $A+B$ es. Si yo también conozco a $A\nvdash\neg B$, $T$ es consistente si $A$ es. Y a menos que $A$ es algunos trivial lógica de la mentira como $x\ne x$, la lógica de los axiomas por sí sola no puede probar $\neg A$, así que si la lógica proposicional es consistente, entonces $A$ es. Pero la lógica proposicional es coherente, porque es decidable y por lo que puede ser probado en consonancia con un par de tablas de verdad.

¿Hay algún defecto en mi argumento anterior, o es que hay algún subconjunto de ${\sf ZF}$ que no puede ser reducido porque no sabemos de que, por ejemplo, el axioma de los sindicatos es independiente de los otros? ¿De dónde incompletitud de Gödel resultado que muestra su cara aquí? (Se me puede hacer alguna suposición tácita de que es equivalente a un trabajo más fuerte de la teoría, pero no la puedo ver.)

Answer 1

Creo que un fallo en su argumento es que usted debe considerar lo que los supuestos son de demostrar que un enunciado es independiente de una teoría. Para un no-sutil ejemplo, la declaración "no es un cardinal inaccesible" es independiente de $\mathsf{ZFC}$ porque falla en $V_\kappa$ donde $\kappa$ es el menor cardinal inaccesible, y sostiene que si en realidad hay un cardinal inaccesible. Sin embargo, la teoría de la "$\mathsf{ZFC} + \text{there is an inaccessible cardinal}$" tiene una mayor consistencia de la fuerza de $\mathsf{ZFC}$ sí. Esto sucedió porque estábamos suponiendo implícitamente (o al menos yo estaba suponiendo implícitamente) la consistencia de un cardinal inaccesible para la independencia de la prueba.

Uno podría pensar que este problema podría evitarse con sólo teniendo en cuenta la independencia de los resultados que pueden ser obtenidos por el interior de los modelos y obligando, en lugar de por los grandes cardenales. Sin embargo, aún hay algunos supuestos para estar seguro de que estas interior de los modelos y obligando a las extensiones de comportarse como se desee. A pesar de las pruebas que, dicen, $\mathsf{CH}$ $\mathsf{AC}$ son independientes de $\mathsf{ZFC}$ puede ser bastante robusto en este sentido, muchas de la independencia de las pruebas son más sensibles a las hipótesis. Por ejemplo, para demostrar que el Axioma de Reemplazo es independiente de los demás, el interior de la modelo y obligando a los métodos no va a funcionar porque para mostrar que la sustitución tiene en $L$ y en obligar a las extensiones $V[G]$, es necesario el uso de reemplazo en $V$.

Podemos demostrar que la sustitución es independiente de las demás, si asumimos que es consistente con los demás, como lo podemos demostrar que la existencia de un cardinal inaccesible es independiente de $\mathsf{ZFC}$ si suponemos que es consistente con la $\mathsf{ZFC}$. Usted puede encontrar situaciones similares con otros axiomas, tales como juego de Poder, y esto limitará su capacidad para recortar la colección de axiomas en la forma en que usted se imagina.

Por supuesto, la pregunta del título es todavía válida, una vez que se reemplaza "el más pequeño fragmento de" con "un mínimo fragmento," pero quizá ya no es la pregunta que deseas hacer. Si es así, por favor me corrija.