¿Cómo explican estas implicaciones los contenidos de las clases equivalentes?

Question

Consideremos la ecuación $s^2 \equiv-1(mod \;p)$ . El teorema dice:

Para $p = 4m+1$ ecuación $s^2 \equiv-1(mod \;p)$ tiene dos soluciones $s \in \{1,2,...,p-1\}$

Para $p = 2$ ecuación $s^2 \equiv-1(mod \;p)$ tiene una solución $p =2$

Para $p = 4m+3$ ecuación $s^2 \equiv-1(mod \;p)$ no tiene soluciones

Prueba

Para impar $p$ pongamos una relación de equivalencia que identifique el elemento con su elmento inverso y opuesto en $\mathbb{Z}_p$ .

Significa que tenemos clase de equivalencia en forma de:

$$\{x, -x, \bar{x}, -\bar{x}\}$$

Pero se puede acortar. Consideremos estos tres casos:

(1) $x \equiv -x$ - no puede satisfacerse, porque $p$ es impar

(2) $x \equiv \bar{x} \Leftrightarrow x^2 \equiv 1 \Leftrightarrow x =1 \lor x = p-1$ . Significa que la clase de equivalencia es un conjunto $\{1, p-1\}$

(3) $x \equiv -\bar{x} \Leftrightarrow x^2 \equiv -1 $

Esta ecuación puede no tener soluciones o tener dos diferentes: $x_0$ y $p-x_0$ . Cuando lo hace, la clase de equivalencia tiene la forma de $\{x_0, p - x_0\}$ .

Establecer $\{1,2,...,p-1\}$ tiene $p-1$ elementos y lo dividimos en clases de equivalencia de cuatro elementos (o de dos elementos, según lo anterior).

Ahora bien $p-1=4m+2$ entonces sólo tenemos una pareja $\{1, p-1\}$ y el resto de las clases son de cuatro elementos.

Debido a esta ecuación $s^2 \equiv-1(\mod \;p)$ no tiene solución. $(*)$

Pero si tomamos $p - 1 \equiv 4m$ entonces tenemos también una clase de equivalencia adicional de dos elementos que contiene soluciones de $s^2 \equiv-1(mod \;p)$ que estábamos buscando. $(**)$

Sección de preguntas

Tengo una pregunta relacionada con esta prueba - marqué por $(*), (**)$ partes de la prueba sobre las que tengo dudas. Cómo exactamente usando estos hechos de los contenidos de las clases de equivalencia podemos justificar algo en las soluciones de la ecuación $s^2 \equiv -1 (mod \; p)$ ? No acabo de entenderlo. ¿Podría echarme una mano explicando esta parte de la prueba?

EDITAR Lo que me queda por entender es sólo eso:

(1) Para $p-1 = 4m+2$ sólo hay una clase de equivalencia de dos elementos $\{1, p-1\}$ y otros son de cuatro elementos.

(2) Para $p - 1 = 4m$ existe una clase de equivalencia $\{x_0, p-x_0\}$ uno $\{1, p-1\}$ y los restantes son de cuatro elementos.

A lo mejor es obvio pero no entiendo como puede ser verdad. Por ejemplo formulación equivalente de (1) es que:

$\exists! x_0 : x_0 \equiv \bar{x_0} (mod \; 4m+2)$ y para el resto $x \in \{1,2,...,4m+2\} \setminus \{x_0\}$ tenemos que la clase de equivalencia no se puede acortar. ¿Podría explicarme cómo demostrarlo?

Answer 1

Si $s^2\equiv-1\pmod p$ entonces $s\equiv\bar ss^2\equiv\bar s(-1)\equiv-\bar s\pmod p$ y por lo tanto también $-s\equiv\bar s\pmod p$ por lo que la clase de equivalencia $\{s,-s,\bar s,-\bar s\}$ en realidad sólo tiene dos miembros, $s$ y $-s$ . Así, para que $x^2\equiv-1\pmod p$ para tener una solución, debe haber una clase de equivalencia de dos elementos, y no puede ser la clase $\{1,p-1\}$ porque ni $1$ ni $p-1$ es una solución a $x^2\equiv-1\pmod p$ .

En $p-1=4m+2$ , $\{1,p-1\}$ es la única clase de equivalencia de dos elementos, por lo que $x^2\equiv-1\pmod p$ no tiene solución.

En $p-1=4m$ sin embargo, debe existir una clase de equivalencia de dos elementos $\{x_0,p-x_0\}$ que no es la clase $\{1,p-1\}$ . (Esto se debe a que si $\{1,p-1\}$ eran la única clase de equivalencia de dos elementos, y todas las demás clases de equivalencia tenían $4$ elementos, tendríamos $p-1=4m+2$ donde $m$ es el número de clases de cuatro elementos). Ahora los miembros de la clase de equivalencia de $x_0$ son $x_0,-x_0,\overline{x_0}$ y $-\overline{x_0}$ y $-x_0$ es $p-x_0$ modulo $p$ Así que $\overline{x_0}$ debe ser uno de $x_0$ y $p-x_0$ . Sabemos que $x_0$ no es $1$ o $1-p$ Así que $x_0^2\not\equiv1\pmod p$ y, por lo tanto $\overline{x_0}\ne x_0$ . Esto significa que $\overline{x_0}=p-x_0\equiv-x_0\pmod p$ Así que

$$1\equiv x_0\overline{x_0}\equiv x_0(-x_0)\equiv -x_0^2\pmod p\,,$$

y por lo tanto $x_0^2\equiv-1\pmod p$ .