La integral doble sale mal

Question

Así, tengo la (aparentemente) algebraicamente inocua integral doble de $$ \iint \limits_R{1- {x^2 \over 4} -{y^2 \over 9}\space \mathrm {d}A} ; \space\mathrm {where}\space R =[-1,1]\times[-2,2] $$

Integro con dividiendo el enunciado en las integrales de los términos y luego procedo a integrar con respecto a $y$ . Unas cuantas operaciones sencillas más tarde y se obtiene $ {20 \over 9} -x^2 $ ; mi integración posterior con respecto a $x$ conduce a ${40\over9}-{1\over3} {x^3}]^{1}_{-1}$ lo que a su vez conduce a una respuesta de $34\over9$ .

Tengo no idea de lo que estoy haciendo mal aquí, pero esto no tiene ninguna relación obvia con la respuesta de $166\over27$ .

También debo señalar que el problema original no era tan explícito sobre $A$ La ecuación con la que opero es la siguiente $$z+ {x^2 \over 4} + {y^2 \over 9} = 1$$

He comprobado que $R$ se encuentra completamente bajo la región de integración calculando los valores de las cuatro esquinas de $R$ ( $[-1,-2];[-1,2];[1,-2];[1,2]$ ) y encontrando que todas las resultantes son menores que uno.

Este post se está haciendo largo, pero si alguien quiere verlos voy a látex en mis pasos aquí con el único $ operar para mantener la escritura más compacta y la \\ para facilitar las nuevas líneas.

Answer 1

$$\begin{align}\int_{-2}^2\left(1-\frac{x^2}4-\frac{y^2}9\right)\,dy &= \left[y-\frac{x^2}4y-\frac{y^3}{27}\right]_{y=-2}^2\\ &= \left[2-\frac{x^2}4\cdot 2-\frac{2^3}{27}\right]-\left[-2-\frac{x^2}4\cdot-2-\frac{-2^3}{27}\right]\\ &= 2\left[2-\frac{x^2}4\cdot 2-\frac{2^3}{27}\right]\\ &= 2\left[\frac{54}{27}-\frac8{27}-\frac{x^2}2\right]\\ &= 2\left[\frac{46}{27}-\frac{x^2}2\right]\\ &= \frac{92}{27}-x^2.\end{align}$$

Answer 2

La integración sobre $y$ debe dar $\frac{92}{27}-x^2$ y el resultado final es efectivamente $\frac{166}{27}$ . No puedo decirte dónde, pero debes haber cometido algún error en tus cálculos.

Answer 3

El primer cálculo es erróneo. El resultado debería ser $\frac{92}{27}-x^2$ .

Por cierto, yo aprovecharía la simetría e integraría sobre $0\le x\le 1$ , $0\le y\le 2$ y multiplicar por $4$ .

Answer 4

Para una región rectangular, basta con integrar primero con respecto a una variable, tratando la otra como constante:

$$\begin{align}\iint_A dA \left ( 1 - \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9}\right) &= \int_{-1}^1 dx \: \int_{-2}^2 dy \: \left ( 1 - \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9}\right)\\ &= \int_{-1}^1 dx \: \left [ y -\frac{x^2}{4} y - \frac{y^3}{27} \right ]_{-2}^2\\ &= \int_{-1}^1 dx \: \left ( 4 - x^2 - \frac{16}{27}\right )\\&=\int_{-1}^1 dx \: \left ( \frac{92}{27} - x^2\right )\end{align}$$

Usted debe ser capaz de tomar desde aquí.