Se sabe que una rotación arbitraria puede expresarse en términos de tres rotaciones consecutivas llamadas rotaciones de Euler. Así que en lugar de expresar el operador de rotación como $\hat{R}(\hat{n},\phi) = \exp\left(-\frac{i\phi}{\hbar} \hat{n}\cdot\vec{J}\right )$ se puede escribir $\hat{R}(\alpha,\beta,\gamma) = \hat{R}_z(\alpha)\hat{R}_y(\beta)\hat{R}_z(\gamma)$ donde $(\alpha,\beta,\gamma)$ son los llamados ángulos de Euler. Mi pregunta es bastante sencilla: ¿cuál es la relación entre un determinado $\hat{n}$ y $(\alpha,\beta,\gamma)$ ?
Permítanme ser más específico. Supongamos que tenemos un spin- $1/2$ y algún espinor $|\chi\rangle$ asociada a ella. Ahora, supongamos que quiero girar este spinor a través de un ángulo $\phi = 2\pi$ alrededor de un eje arbitrario $\hat{n}=(\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta)$ donde $\theta,\varphi$ son los ángulos polares y azimutales habituales en el sistema de coordenadas esféricas original. Obviamente, podemos utilizar la siguiente identidad $$\hat{R}(\hat{n},\phi) = \mathbb{I}\cos \frac{\phi}{2} - i(\hat{n}\cdot\vec{\sigma}) \sin\frac{\phi}{2}$$ y concluir que $\hat{R}(\hat{n},\phi=2\pi)=-\mathbb{I}$ para cualquier $\hat{n}$ . Pero entonces quise ver si se podía obtener el mismo resultado utilizando las matrices D de Wigner (que están ligadas a las rotaciones de Euler). Evidentemente, primero hay que rotar el sistema de coordenadas original de forma que uno de sus ejes se alinee con $\hat{n}$ y luego girar $|\chi\rangle$ alrededor de ese eje. Pero, ¿cómo puede hacerse esto exactamente en sólo tres pasos (ángulos)? Inicialmente pensé que la secuencia correcta debería ser $\alpha=\varphi,\beta=\theta,\gamma=\phi$ sin embargo, para el ejemplo anterior, se obtiene: $$D_{m'm}^{j=1/2}(\varphi ,\theta,\phi=2\pi ) = \begin{pmatrix} -e^{-i\varphi/2} \cos \frac{\theta}{2} & -e^{-i\varphi/2} \sin \frac{\theta}{2}\\ e^{i\varphi/2} \sin \frac{\theta}{2} & -e^{i\varphi/2} \cos \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} \neq - \mathbb{I}$$
