Sobre los extremos de las funciones reales

Question

Si $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es una función suficientemente suave y $f'(a) = f''(a) = \dots = f^{(k-1)}(a) = 0$ y $f^{(k)}(a) \ne 0$ tenemos el siguiente resultado:

1. Si $k$ es par y $f^{(k)}(a)<0$ entonces $a$ es un máximo (local).

2. Si $k$ es par y $f^{(k)}(a)>0$ entonces $a$ es un mínimo (local).

3. Si $k$ es impar, entonces $a$ no es un extremo local.

¿Puede dar alguna idea/intuición sobre la diferencia entre el caso $k$ impar y $k$ ¿Incluso?

Answer 1

$f^{(k)}$ es la derivada de $f^{(k-1)}$ por lo que si $f^{(k)}(a)<0$ esto implica que en un $\varepsilon$ establecer $a$ la función $f^{(k-1)}$ disminuye. Ahora bien, como $f^{(k-1)}(a)=0$ , en esta zona de epsión $f^{(k-1)}(x)>0$ a la izquierda de $a$ es decir, para todos $x<a$ y $f^{(k-1)}(x)<0$ a la derecha de $a$ donde $x>a$ . Pero esto implica que $f^{(k-2)}$ tiene un máximo en $a$ desde $f^{(k-2)}$ aumenta en una zona épsilon a la izquierda de $a$ y decreciente a la derecha de $a$ en esa zona épsilon.

Ahora las afirmaciones siguen por aplicación iterativa de este razonamiento.