¿Tenemos un "lema de los cinco cortos" para dos isomorfismos cualesquiera?

Question

$\require{AMScd}$ El lema "corto" de Five se refiere a la famosa forma de diagrama conmutativo exacto: $$\begin{CD}0@>>>A@>>>B@>>>C@>>>0\\&@VV\simeq V&@VVV&@VV\simeq V&\\0@>>>A'@>>>B'@>>>C'@>>>0\end{CD}.$$ En su forma más débil, dice que si los dos mapas laterales son isomorfismos entonces también lo es el mapa central $B\to B'$ y se deduce del lema de las cinco normales por contigüidad trivial de las $0\to 0$ isomorfismos en cada lado. Sin embargo, si tengo el siguiente diagrama $$\begin{CD}0@>>>A@>>>B@>>>C@>>>0\\&@VVV&@VV\simeq V&@VV\simeq V&\\0@>>>A'@>>>B'@>>>C'@>>>0,\end{CD}$$ es el mapa $A\to A'$ necesariamente un isomorfismo, y análogamente para $C\to C'$ ?

Pido disculpas por cualquier mirada "estúpida" por mi parte - esta pregunta parece que debería ser completamente trivial.

Answer 1

Esto se deduce del lema "largo" 5, extendiendo el diagrama para tener otra columna de $0$ s a la izquierda. Alternativamente, es fácil de ver directamente: si identifica $B$ con $B'$ y $C$ con $C'$ a través de los isomorfismos, la conmutatividad del cuadrado derecho dice que $B\to C$ y $B'\to C'$ se convierten en el mismo mapa, y así consigues que $A$ y $A'$ son núcleos del mismo mapa. Argumentos similares se aplican si en su lugar tiene isomorfismos $A\to A'$ y $B\to B'$ .